Maandelijks archief: januari 2019

Nog een goniometrische ongelijkheid

Geplaatst op door

In een driehoek met hoeken \alpha,\beta en \gamma geldt:

    \[\cot \alpha.\cot \beta.\cot \gamma \leq \frac{\sqrt{3}}{9}\]

  • Als één van de hoeken groter is dan 90^{\circ} dan is de cotangens ervan negatief en klopt de eigenschap zeker.
  • Veronderstel dus dat alle hoeken scherp zijn, dan is de tangens functie convex en volgt uit de stelling van Jensen dat:  \tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma \geq 3\tan(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3})=3\sqrt{3}.
  • Men kan eenvoudig controleren dat \tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma =\tan \alpha .\tan \beta .\tan \gamma en dus is  \tan \alpha .\tan \beta .\tan \gamma \geq 3\sqrt{3}.
  • Als we het omgekeerde nemen vinden we dat  \cot \alpha .\cot \beta .\cot \gamma \leq \frac{1}{ 3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{9}.

Oppervlakte van een cirkel

Geplaatst op door

Het berekenen van de oppervlakte van een cirkel is een moeilijke zaak. Door de jaren heen heeft men geprobeerd een steeds betere benadering te vinden. Uiteraard valt dit probleem samen met het benaderen van pi. Bovenstaande tekening laat zien hoe ze dit probleem aanpakten in het zeventiende eeuwse Japan.

In het boek Kaison-ki Kömoku (1687 na Chr.), geschreven door Mochinaga Toyotsugu en Öhashi Takusei zien we dat ze de oppervlakte van een halve cirkel probeerden te benaderen door daarin smalle rechthoeken te tekenen en de oppervlakten daarvan op te tellen. Een beetje zoals de Riemann sommen… Het was de tijd waarin de sangaku’s werden gemaakt en Japan helemaal van de westerse wereld was afgezonderd.

Als we hun resultaat bekijken vinden we dat ze voor pi de waarde 3,01262848 bekwamen.

 

7 bruggen van Koningsbergen

Geplaatst op door

De grote wis- en natuurkundige Leonhard Euler (1707-1783) publiceerde
in 1736 het zogenaamde Koningsberger bruggenprobleem. De stad Koningsbergen, die sinds 1945 Kaliningrad heet, ligt aan de oevers van en op twee eilanden in de rivier de Pregel. De oevers en de eilanden waren in Eulers tijd verbonden door zeven bruggen. De Koningsbergers waren gewend ’s zondags een lange wandeling door de stad te maken en Euler vroeg zich nu af of hij  een wandeling  zou kunnen ontwerpen, waarbij elk der bruggen juist eenmaal zou gepasserd worden.

We vereenvoudigen de plattegrond van Koningsbergen door elk der vier stadsdelen A, B, C en D door een punt voor te stellen en elk der zeven bruggen door een lijn. Een dergelijke figuur noemt men een graaf.  De  graaf in ons probleem heeft vier hoekpunten en zeven kanten. We kunnen het bruggenprobleem nu zo formuleren: Is het mogelijk de graaf zo te doorlopen, dat daarbij elk der kanten slechts éénmaal gepasseerd wordt? Beginnen we bijv. bij het hoekpunt A, dan moet daar een ,,uitgaande kant”, maar ook een ,,inkomende kant” zijn. Telkens als we via een der kanten in een hoekpunt aankomen, moet daar weer behalve de ,,inkomende” ook een ,,uitgaande kant” zijn. Hieruit blijkt, dat als we de graaf zo willen doorlopen, dat we elk der kanten slechts eenmaal gebruiken, er bij elk hoekpunt een even aantal kanten moeten samenkomen. Aangezien dat niet het geval is, is het onmogelijk een wandeling door Koningsbergen te organiseren, waarbij elk der bruggen slechts éénmaal doorlopen wordt.

Chebyshev veeltermen

Geplaatst op door

De Chebyshev-veeltermen T_n(x) zijn genoemd naar Pafnoeti Lvovitsj Chebyshev en zijn gedefinieerd door \cos nx uit  te drukken in functie van \cos x:

    \[T_n(x)=\cos(n\arccos x)\]

Zo is T_0(x)=1 en T_1(x)=x. Omdat \cos 2x=2\cos^2 x-1 is T_2(x)=2x^2-1. We weten ook dat \cos 3x = 4 \cos^3 x-3, dus is T_3(x)=4x^3-3x.

Dat T_n(x) een veelterm is van graad  n volgt uit de formule van Lemoivre. Andere Chebyshev veeltermen:

T_4(x)=8x^4-8x^2+1
T_5(x)=16x^5-20x^3+5x.

Het onderstaande driehoekig schema geeft een middel aan om de coëfficiënten te bepalen. Elk getal uit de driehoek bekom je door vanaf die positie alle getallen op de diagonaal naar rechtsboven bij elkaar op te tellenen hiervan dan alle getallen op de diagonaal naar linksboven af te trekken. Zo is bijvoorbeeld 18 = 5 + 1 + 0 – (-20) – 8.

 

 

grafieken T_n(x)

Je kan deze veeltermen ook krijgen via een recursie formule:

    \[T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x)\]

met T_0(x)=1 en T_1(x)=x.

Bovendien zijn de Chebyshev veeltermen ook oplossingen van volgende differentiaalvergelijking:

    \[(1-x^2)y''-xy'+n^2y=0\]

 

 

Jean Bourgain

Geplaatst op door
28/02/1954-22/12/2018

Op 22 december 2018 overleed misschien wel de grootste wiskundige van Vlaanderen. Jean Bourgain werd geboren in Oostende op 28 februari 1954. Op zijn 23 ste doctoreerde hij aan de VUB, waar hij op zijn 27ste professor werd. Het was de typisch Belgische manier waarop hij een promototie misliep aan iemand met betere connecties, die hem deed uitwijken naar Frankrijk en de VS en dat laatste zou zijn tweede moederland worden. In 1994 mocht hij aan de slag in het prestigieuze Institute for Advanced Study in Princeton. Hij was er een tijd departementshoofd, maar wilde uiteindelijk liever voltijds aan de slag met wiskunde. Sinds 2014 woonde hij opnieuw in België.

 

Hij beperkte zich niet tot één vakgebied maar werkte ondermeer aan meetkunde van Banachruimten, analytische getaltheorie en niet-lineaire partiële differentiaalvergelijkingen.

Hij kreeg prijzen aan de lopende band ( ondermeer de Fieldsmedaille in 1994) , maar daar deed hij het niet voor. Hij putte zijn blijheid uit de schoonheid van nieuwe ontdekkingen. In 2015 kreeg hij de adelijke titel van baron, maar hij bedankte voor de uitnodiging op het koninklijk paleis want hij moest ‘werken’.  ‘

Wiskunde is geen feest, het is harde arbeid…’:  zei hij.