Formules in een driehoek

Geplaatst op 29 oktober 2018 door admin

We geven 7 eigenschappen die, bij het onderzoeken van eigenschappen van een driehoek, zeer nuttig kunnen zijn. Noteer de halve omtrek van de driehoek met s en de oppervlakte met K. Verder zijn r en R respectievelijk de stralen van de ingeschreven en omgeschreven cirkel.

$K=\frac{1}{2}ab \sin \gamma=\frac{1}{2}ac \sin \beta=\frac{1}{2}bc\sin \alpha$ .
$K=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ . (formule van Heroon)
$K=rs$ .
$2R=\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}$ .(sinusregel)
$K=\frac{abc}{4R}$ .
$1+\cos \alpha=\frac{(a+b+c)(-a+b+c)}{2bc},1-\cos \alpha=\frac{(a-b+c)(a+b-c)}{2bc}$ .
$\sin \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}},\cos \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}$ .

De ongelijkheid van Euler

Geplaatst op 25 oktober 2018 door admin

Eén van de oudste ongelijkheden in een driehoek is de ongelijkheid van Euler die een verband geeft tussen de stralen van de omgeschreven en ingeschreven cirkel.

Als O het middelpunt is van de omgeschreven cirkel ( met straal R) van driehoek ABC en I het middelpunt van de ingeschreven cirkel (met straal r), noteer dan $d=|OI|$ . Dan geldt er:

$d^2=R^2-2Rr$

Hieruit volgt dan dat

$R\geq 2r$

Het gelijkheidsteken geldt enkel als de driehoek gelijkzijdig is.

Nagels en draad

Geplaatst op 18 oktober 2018 door admin

Een aardig knutselwerkje: klop wat nagels in een plank en verbind deze met wat draad en probeer alzo een mooie figuur te bekomen. In volgend artikel kan je lezen over een wiskundige versie van deze activiteit. Permutaties en ideeën uit d etheorie der groepen worden hier geïllustreerd.

Nootje 2

Geplaatst op 17 oktober 2018 door admin

Als n een oneven natuurlijk getal is dat geen drievoud is dan is $n^2-1$ altijd deelbaar door 24.

Antwoord

$n^2-1=(n-1)(n+1)$ . Omdat n oneven is zijn $n-1$ en $n+1$ twee opeenvolgende even getallen. Een daarvan is zeker een viervoud, zodat het produkt zeker deelbaar is door 8.
$n-1,n,n+1$ zijn drie opeenvolgende getallen. Eén ervan is dus zeker deelbaar door 3 en dat kan niet n zijn. Dus is $n^2-1$ deelbaar door 3.
Omdat $n^2-1$ deelbaar is door 3 en door 8 is het ook deelbaar door 24.

Nootje 1

Geplaatst op 17 oktober 2018 door admin

Kan je twee irrationale getallen vinden waarbij hun som en hun produkt rationaal zijn?

Antwoord

Neem $a=2-\sqrt{2}$ en $b=2+\sqrt{2}$ . Omdat $\sqrt{2}$ een irrationaal getal is, zijn a en b allebei irrationaal.
$a+b=4$ is rationaal.
$a.b=(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})=4-2=2$ is ook rationaal.

Wiskunde is leuk

Maandelijks archief: oktober 2018

Formules in een driehoek

De ongelijkheid van Euler

Als O het middelpunt is van de omgeschreven cirkel ( met straal R) van driehoek ABC en I het middelpunt van de ingeschreven cirkel (met straal r), noteer dan $d=|OI|$ . Dan geldt er:

$d^2=R^2-2Rr$

Nagels en draad

Nootje 2

Als n een oneven natuurlijk getal is dat geen drievoud is dan is $n^2-1$ altijd deelbaar door 24.

Nootje 1

Kan je twee irrationale getallen vinden waarbij hun som en hun produkt rationaal zijn?

Als O het middelpunt is van de omgeschreven cirkel ( met straal R) van driehoek ABC en I het middelpunt van de ingeschreven cirkel (met straal r), noteer dan . Dan geldt er:

Als n een oneven natuurlijk getal is dat geen drievoud is dan is altijd deelbaar door 24.

Kan je twee irrationale getallen vinden waarbij hun som en hun produkt rationaal zijn?

Als O het middelpunt is van de omgeschreven cirkel ( met straal R) van driehoek ABC en I het middelpunt van de ingeschreven cirkel (met straal r), noteer dan $d=|OI|$ . Dan geldt er:

$d^2=R^2-2Rr$

Als n een oneven natuurlijk getal is dat geen drievoud is dan is $n^2-1$ altijd deelbaar door 24.