Maandelijks archief: oktober 2018

Formules in een driehoek

Geplaatst op door

We geven 7 eigenschappen die, bij het onderzoeken van eigenschappen van een driehoek, zeer nuttig kunnen zijn. Noteer de halve omtrek van de driehoek met s en de oppervlakte met K. Verder zijn r en R respectievelijk de stralen van de ingeschreven en omgeschreven cirkel.

  • K=\frac{1}{2}ab \sin \gamma=\frac{1}{2}ac \sin \beta=\frac{1}{2}bc\sin \alpha.
  • K=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}. (formule van Heroon)
  • K=rs.
  • 2R=\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}.(sinusregel)
  • K=\frac{abc}{4R}.
  • 1+\cos \alpha=\frac{(a+b+c)(-a+b+c)}{2bc},1-\cos \alpha=\frac{(a-b+c)(a+b-c)}{2bc}.
  • \sin \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}},\cos \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}.

De ongelijkheid van Euler

Geplaatst op door

Eén van de oudste ongelijkheden in een driehoek is de ongelijkheid van Euler die een verband geeft tussen de stralen van de omgeschreven en ingeschreven cirkel.

Als O het middelpunt is van de omgeschreven cirkel ( met straal R) van driehoek ABC en I het middelpunt van de ingeschreven cirkel (met straal r), noteer dan d=|OI|. Dan geldt er:

    \[d^2=R^2-2Rr\]

Hieruit volgt dan dat

    \[R\geq 2r\]

Het gelijkheidsteken geldt enkel als de driehoek gelijkzijdig is.

Nagels en draad

Geplaatst op door

Een aardig knutselwerkje: klop wat nagels in een plank en verbind deze met wat draad en probeer alzo een mooie figuur te bekomen. In volgend artikel kan je lezen over een wiskundige versie van deze activiteit. Permutaties en ideeën uit d etheorie der groepen worden hier geïllustreerd.

Nootje 2

Geplaatst op door

Als n een oneven natuurlijk getal is dat geen drievoud is dan is n^2-1 altijd deelbaar door 24.

Antwoord