Maandelijks archief: september 2018

Een nieuwe algebra

Geplaatst op door

Een algebra is eigenlijk een verzameling uitgerust met één of meerdere bewerkingen. We kennen allemaal getallenverzamelingen met daarin een optelling en een vermenigvuldiging. Maar je kan ook een algebra definiëren in een verzameling zonder getallen. Neem bijvoorbeeld de verzameling punten in het vlak (a,b,c,…) en de bewerking a.b =c met c het midden van [a,b] en a.a=a.

  • Het is een binaire bewerking: met twee punten komt terug een punt overeen.
  • Deze bewerking is commutatief : a.b=b.a want het midden van [a,b] is hetzelfde als het midden van [b,a].
  • De bewerking is niet associatief: meestal is a.(b.c) niet gelijk aan (a.b).c. We kunnen de haakjes in uitdrukkingen van de vorm (a.b).c dus niet weglaten.
  • We kunnen ook vergelijking van de vorm a.x=b oplossen. We noteren de oplossing als \frac{b}{a}.
  • We moeten goed oppassen om rekenregels die we kennen uit de getallenleer, niet zomaar over te dragen naar deze nieuwe algebra. Zo is \frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{a.c}{b.d} maar is a.\frac{b}{c} niet gelijk aan \frac{a.b}{c}.

Rekenen in dergelijke wiskundige structuur is zeer boeiend en is onderdeel van de abstracte algebra waarin begrippen zoals groepen, ringen, velden, vectorruimten e.d. gebruikt worden om bepaalde ‘algebra’s’met zelfde eigenschappen samen te brengen.

 

Fermat priemgetallen en regelmatige veelhoeken

Geplaatst op door

De Franse wiskundige Pierre de Fermat( 1601-1665) dacht dat alle getallen van de vorm 2^{2^n} priemgetallen waren. En voor de eerste 5 waarden van n was dat ook zo:

\begin{array}{c|c} n& 2^{2^n} \\ \hline\\ 0 &3\\1&5\\2&17\\3&257\\4&65.537\end{array}

Later ontdekte Leonard Euler( 1707-1783) in 1732 dat het Fermat getal voor n = 5 ontbonden kon worden als  4.294.967.297 = 641 x 6.700.417. En hier zou het verhaal dan stoppen, ware er niet de geniale ontdekking van Carl Friedrich Gauss(1777-1855).

In 1794 vond Gauss dat een regelmatige veelhoek met p zijden (met p een priemgetal ) construeerbaar is met passer en liniaal als en slechts als p een Fermat priemgetal is, dus een priemgetal van de vorm 2^{2^n}. Als eerbetoon werd in Brauschweig, de thuisstad van Gauss,  een bronzen standbeeld opgericht waar hij staat op een regelmatige zeventien hoek.

Welke regelmatige veelhoeken zijn dan construeerbaar met passer en liniaal? Volgens Gauss’ resultaat zijn dat de gelijkzijdige driehoek, de regelmatige 5-hoek, de regelmatige 17-hoek, de regelmatige 257-hoek en de  regelmatige 65.537-hoek. We weten dat ook de regelmatige veelhoeken met 7,11,13,19,… zijden niet construeerbaar zijn omdat het wel priemen zijn, maar geen Fermat priemen. Verder zijn ook regelmatige veelhoeken met 4,8,16,32,.. en 6,12,24,48,… zijden construeerbaar omdat we met passer en liniaal een hoek in twee kunnen verdelen. En wat met de anderen? Is een regelmatige 15 hoek construeerbaar?  Het blijkt van wel, omdat \frac{1}{15}=\frac{2}{5}-\frac{1}{3} en dus kunnen we een cirkel in 15 gelijke delen verdelen.

Het was uiteindelijk Pierre Wantzel die in 1837 volgend algemeen reultaat bewees: Een regelmatige n-hoek is construeerbaar met passer en liniaal als en slechts als n het product is van een macht van 2 en een willekeurig aantal verschillende Fermat priemgetallen.

The game of ‘Life’

Geplaatst op door

Game of Life was voor het eerst geïntroduceerd door de Britse wiskundige John Conway in 1970. Het werd gepubliceerd in het tijdschrift Mathematical games van Martin Gardner.

Het is eigenlijk een cellulaire automaat en bestaat uit een één- of meer-dimensionaal raster van cellen met elk een eindig aantal toestanden. Een volgende toestand wordt door toepassing van een gegeven verzameling regels berekend uit de huidige toestand van de cel en die van zijn directe buren. Door het herhaald toepassen van dezelfde regels ontstaan vaak spontaan patronen die nu en dan grote gelijkenis vertonen met wat in de natuur wordt aangetroffen, zoals in de groeipatronen van kristallen en in kolonies koralen.

Het spel wordt gespeeld op een oneindig groot schaakbord waar elke ‘cel’ altijd 8 buren heeft. De basis regels zijn:

  • Een levende cel met 0 of 1 levende buur sterft van eenzaamheid.
  • Een levende cel met 4 of meer buren sterft als gevolg van overbevolking.
  • Een levende cel met 2 of 3 buren overleeft naar de volgende generatie.
  • Een dode cel met juist 3 buren wordt levend.

Er bestaan verschillende ‘levenstypes’, zoals bijvoorbeeld:

  • stillevens: stabiele eindige , niet lege configuraties zoals bijvoorbeeld :
  • periodische levensvormen ( oscillatoren) waar een bepaald patroon zich steeds herhaalt:
  • een glijder: een levensvorm die zich verplaatst over het schaakbord:

Je kan uiteraard zelf een aantal configuraties verzinnen…