Maandelijks archief: augustus 2018

Opgave 24

Geplaatst op door

Bewijs dat er tussen elke 9 getallen er twee zijn, een a en een b, waarvoor

    \[0<\frac{a-b}{1+ab}<\sqrt{2}+1\]

Antwoord

  • De middelste uitdrukking doet me onmiddellijk denken aan de formule voor \tan(a-b).
  • Bovendien volgt uit 1=\tan(\frac{\pi}{4})=\frac{2\tan(\frac{\pi}{8})}{1-\tan^2(\frac{\pi}{8})} dat \tan(\frac{\pi}{8})=\sqrt{2}+1.
  • Verdeel nu het interval ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[ in 8 gelijke stukken.
  • Noteer de 9 gegeven getallen door a_i met i=1,2,\cdots,9. Stel vervolgens x_i=\text{ bgtan }(a_i).
  • Er zijn 9 getallen x_i voor 8 intervallen, dus volgt uit het duivenhok principe dat er minstens twee getallen x_i en x_j met x_j>x_i in hetzelfde interval liggen.
  • Dan geldt 0< x_j-x_i<\frac{\pi}{8}.
  • Omdat de tangensfunctie stijgend is op ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[, volgt hieruit dat 0< \tan(x_j-x_i)=\frac{a_j-a_i}{1+a_j.a_i}<\sqrt{2}+1.

Duivenhok principe

Geplaatst op door

Verdeel je meer dan n duiven over n hokken, dan bevat minstens één hok minstens 2 van die duiven. Over dit duivenhok principe hebben we het gehad op een andere pagina van deze website. Het is niet altijd even gemakkelijk om de juiste ‘hokken’ te kiezen om alzo het principe te kunnen toepassen. Volgende opgaven lijken op elkaar, maar toch is de keuze van de ‘hokken’ totaal anders.

Kies 51 getallen uit de verzameling {1,2,3,…,100}. Toon aan dat :

  • er in die 51 getallen  twee getallen bestaan die geen gemeenschappelijke priemdeler hebben.

  • er in die 51 getallen twee getallen  bestaan zodat de ene een deler is van de andere.

 

Voor de eerste vraag neem je 50 paar opeenvolgende koppels: (1,2),(3,4),…,(99,100). Vermits er 51 getallen gekozen worden, moet er daartussen dus zeker een paar (k,k+1) zitten. Als k en k+1 een zelfde priemdeler p zouden hebben zou p ook een deler zijn van (k+1)-k=1 en dat kan niet. Dus k en k+1 hebben geen gemeenschappelijke priemdeler.

Voor het tweede probleem neem je de 50 oneven getallen 1,3,5,…,99. Voor elk van die getallen vorm je een ‘hok’ met daarin het oneven getal en alle producten ervan met machten van 2. Zo bevat het eerste hok de elementen 1,2,4,8,16,32,64 en het tweede hok de elementen 3,6,12,24,48,96. Volgens het duivenhok principe moeten er tussen de 51 gekozen getallen er zeker twee zijn die in hetzelfde hok zitten. Die twee getallen zijn dan van de vorm 2^m.k en 2^n.k met k een oneven getal. Het is duidelijk dat het ene getal het andere deelt.

 

De kleine stelling van Fermat

Geplaatst op door

Als p een priemgetal is en a en p onderling ondeelbaar zijn dan geldt:

    \[a^{p-1} \equiv 1 \text{ mod } p\]

Uit deze stelling, die de kleine stelling van Fermat genoemd wordt en in 1640 een eerste keer vermeld werd, volgt dat voor elke a en voor een priemgetal p geldt dat

    \[a^p \equiv a \text { mod } p\]

De stelling wordt bijvoorbeeld gebruikt om de restklasse modulo een groot getal uit te rekenen. Bereken bijvoorbeeld de rest bij deling van 2^{245} door 11. Volgens de kleine stelling van Fermat is 2^{10} \equiv 1 \text{ mod } 11, dus is 2^{245} \equiv (2^{10})^24.2^5 \equiv 2^5 \equiv 10 \text{ mod } 11.

Er bestaat een veralgemening voor de stelling, die zegt dat als a en m onderling ondeelbaar zijn, geldt

    \[a^{\varphi(m)} \equiv 1 \text { mod }m\]

Hierbij is \varphi(m) de totiënt functie van Euler die het aantal getallen, kleiner dan m, berekent die onderling ondeelbaar zijn met m. Deze stelling wordt de Euler-Fermat stelling genoemd.

Opgave 23

Geplaatst op door

Hoeveel kwadraten komen er voor in de eerste duizend termen van de rij x_n=9n+7?

Antwoord

  • n=1 en n=2 leveren onmiddellijk kwadraten op, maar daarna duurt het precies wel even voor je terug een kwadraat krijgt. Zijn er nog wel?
  • De getallen x_n moeten tot de restklasse 7 modulo 9 behoren en een kwadraat zijn. Opdat x_n=m ^2 is het nodig en voldoende dat m^2 \equiv 7 \text{ mod } 9.
  • Het is niet moeilijk de verchillende restklassen mod 9 op te schrijven voor m^2:
    \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} m^2&0^2&1^2&2^2&3^2&4^2&5^2&6^2&7^2&8^2\\ \hline \text{ mod }9&0&1&4&0&7&7&0&4&1 \end{array}
  • Dus moet m \equiv 4 \text{ mod }9 of m \equiv 5 \text{ mod }9.
  • In het eerste geval is 9n+7=(9t+4)^2 of n=9t^2+8t+1. Als n \leq 1000, dan moet 0\leq t\leq 10. Dit levert ons al 11 oplossingen.
  • In het tweede geval  moet  9n+7=(9t+5)^2 of n=9t^2+10t+2. Als n \leq 1000, dan moet 0\leq t\leq 9. Dit geeft ons al 10 oplossingen.
  • In totaal heb je dus 21 termen in de rij die een volkomen kwadraat zijn.

Deelbaarheid door 3, 7, 9 en 11

Geplaatst op door

Iedereen weet dat een getal deelbaar is door 2 als het laatste cijfer, in zijn decimale notatie, even is.  Want een getal n kan je schrijven als n=10k+u, waarbij u het laatste cijfer is in de decimale notatie van n. Het is duidelijk dat 2|n als en slechts als 2|u. Hetzelfde geldt voor 5.

Elk getal n  is te schrijven  als n=100k+u, waarbij u het getal is gevormd door de laatste 2 cijfers van n. Bijgevolg is n deelbaar door 4 of 25 als de laatste 2 cijferss deelbaar zijn door 4 of 25.

Hoe kunnen we nu zien of een getal deelbaar is door 3, 9 of 11? Bekijken we eerst een stelling over congruenties met veeltermen met gehele cëfficiënten:

Stel f(x)=\sum_{k=0}^nc_kx^k met c_i \in \mathbb{Z}. Als a \equiv b mod m, dan is f(a) \equiv f(b) mod m.

Neem nu a=\sum_{k=0}^na_k10^k, de decimale schrijfwijze van het getal a en noteer s=\sum_{k=0}^na_k en t=\sum_{k=0}^n(-1)^ka_k. Het is duidelijk dat a=f(10) met f(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k en dat s=f(1). Omdat 10 \equiv 1 mod 9, geldt volgens vorige stelling dat f(10) \equiv f(1) mod 9 of met andere woorden : een getal is deelbaar door 9 als de som van haar cijfers deelbaar is door 9. Analoog voor deelbaarheid door 3. Het bewijs voor deelbaarheid door 11 volgt uit het feit dat 10 \equiv -1 mod 11 en t=f(-1).

Besluit:
Een getal is deelbaar door 3 of 9 als de som van de cijfers van het getal deelbaar is door 3 of 9.
Een getal is deelbaar door 11 als t=\sum_{k=0}^n(-1)^ka_k deelbaar is door 11.

 

Een toemaatje : deelbaarheid door 7: Omdat 10^3 \equiv -1 mod 7 kan je  deelbaarheid door 7 als volgt vinden: Verdeel het getal van rechts naar links in groepjes van 3. Voor zie elk groepje alternerend met een + en – teken. Een getal is deelbaar door 7 las de som van die getallen deelbaar is door 7. Zo is bijvoorbeeld  2 345 678 902 deelbaar door 7 omdat 902 -678 + 345 – 2 = 567 en dat is deelbaar door 7 .