Maandelijks archief: juni 2018

Opgave 19

Geplaatst op door

Controleer voor elk natuurlijk getal vanaf 7 of {n} \choose {7} deelbaar is door 12 en bereken de fractie van dergelijke getallen. Zoek de limiet van die fractie als je steeds meer getallen controleert.

Antwoord
  • We weten dat {n} \choose {7} = \dfrac{n!}{7!(n-7)!}=\dfrac{n(n-1)\cdots(n-6)}{2^4.3^2.5.7}
  • Om deelbaar te zijn door 12 moet de teller deelbaar zijn door {2^6.3^3.5.7}. Omdat de teller betsaat uit zeven opeenvolgende getallen is die zeker al deelbaar door 7 en 5.
  • Bekijken we nu de factoren 3. De teller is zeker deelbaar door 9, want zeven opeenvolgende getallen bevatten zeker twee veelvouden van 3.
  • Als n \equiv 0,1,2,3,4,5 \text{ of } 6 \text{ mod } 9, dan is zeker één van de zeven getallen uit de teller deelbaar door 9 en een ander door 3, zodat de teller deelbaar is door 3^3.
  • Nu de factoren 2: Als n even is dan zijn n,n-2,n-4 en n-6 allemaal deelbaar door 2 en juist twee getallen zijn een viervoud, zodat de teller dan deelbaar is door 2^6.
  • Als n oneven is dan zijn n-1,n-3 en n-5 deelbaar door 2. Als n-3 het enige getal is dat deelbaar is door 4, dan moet het zelfs deelbaar zijn door 16 anders kan de teller niet deelbaar zijn door 2^6. Dus moet n \equiv 3 \text{ mod } 16. Als n-1 en n-5 beiden deelbaar zijn door 4, dan moet opdat de teller  deelbaar zou  zijn door 2^6, een van die getallen deelbaar zijn door 8. Dus moet n \equiv 1,5 \text{ mod } 8 of n \equiv 1,5,9,13 \text{ mod } 16.
  • Brengen we nu alle informatie samen: {n} \choose {7} is deelbaar door 12 als en slechts als

        \[\begin{cases} n \equiv 0,1,2,3,4,5,6 \text{ mod } 9 \\ n \equiv 0,1,2,3,4,5,6 ,8,9,10,12,13,14 \text{ mod } 16\]

  • Er zijn 7 mogelijkheden modulo 9 en 13 mogelijkheden modulo 16, dus zijn er volgens de Chinese reststelling 9.13=91  oplossingen modulo 9.16=144.
  • De waarschijnlijkheid dat {n} \choose {7}  deelbaar is door 12 nadert dus de waarde \frac{91}{144}.

Opgave 18

Geplaatst op door

n \in \mathbb{N}_0 is p-veilig ( met p een natuurlijk getal verschillend van 0), als het in absolute waarde meer dan 2 verschilt van alle p-vouden. Hoeveel natuurlijke getallen bestaan er die kleiner zijn dan 10000 en tegelijkertijd 7- veilig, 11-veilig en 13-veilig zijn?

Antwoord

  • Even op onderzoek: welke zijn de 10-veilige getallen? Het zijn: 3,4,5,6,7,13,14,15,16,17,23,…
  • als x zowel 7-veilig, 11-veilig en 13-veilig moet zijn dan geldt
    \begin{cases} x\equiv 3,4 \text{ mod } 7 \\ x\equiv 3,4,5,6,7,8 \text{ mod } 11 \\ x\equiv 3,4,5,6,7,8,9,10 \text{ mod } 13 \end{cases}
  • Eigenlijk staan hier 2.6.8=96 stelsels die , volgens de chinese reststelling, allemaal een unieke oplossing hebben modulo 7.11.13=1001
  • Tussen 1 en 1001 hebben we dus 96 oplossingen, idem tussen 1002 en 2002, tussen 2003 en 3003, …, tussen 9009 en 10010. Bijgevolg hebben we 10.96 = 960 oplossingen.
  • Maar misschien zijn er wel oplossingen bij die  groter zijn dan 10000, vermits we tot 10010 gerekend hebben. We controleren en vinden dat 10006 \equiv -4 \text{ mod } 1001 en dus bij deling door 7,11 en 13 respectievelijk 3,7,en 9 als rest laat. Zodoende is 10006 zowel 7-veilig als 11-veilig en 13-veilig. Het zelfde geldt voor 10007 \equiv -3 \text{ mod } 1001.
  • Bijgevolg zijn er 960 – 2= 958 getallen die zowel 7-veilig, 11-veilig als 13-veilig zijn.

Opgave 17

Geplaatst op door

Er bestaat een punt P binnen een gelijkzijdige driehoek ABC zodat |PA|= 3, |PB|=4 en |PC|=5. Bereken de lengte van de zijde van die gelijkzijdige driehoek.

Antwoord

  • We roteren driehoek ABC rond A over 60°.
    BP’ is het beeld van CP en heeft dus lengte 5. Bovendien is driehoek APP’ gelijkzijdig en dus heeft PP’ lengte 3. Bijgevolg is driehoek BPP’ een 3-4-5 driehoek en dus rechthoekig.
  • Driehoek APP’ is gelijkzijdig en dus zijn alle hoeken 60°. Daarom meet de hoek BPA juist 90°+60°=150°.
  • We kunnen in driehoek BPA, met behulp van de cosinusregel de lengte van AB berekenen: |AB|^2=3^2+4^2-2.3.4.\cos 150°=25+12\sqrt{3}.
  • De zijde van de gelijkzijdige driehoek ABC heeft als lengte \sqrt{25+12\sqrt{3}}.

Een eigenschap van gelijkzijdige driehoeken.

Geplaatst op door

Gegeven zijn 2 punten A en B. Als we B roteren  over 60° rond A, naar het punt B’, dan is de driehoek ABB’ gelijkzijdig.

Een gevolg hiervan is de volgende eigenschap over gelijkzijdige driehoeken die gevonden werd in 1936 door de Roemeense wiskundige D.Pompeiu (1873-1954). Het is merkwaardig dat dit, relatief eenvoudig resultaat, niet vroeger ontdekt werd.

ABC is een gelijkzijdige driehoek en P een punt dat niet op de omgeschreven cirkel ligt van ABC. Dan is het steeds mogelijk een driehoek te construeren met als zijden PA,PB en PC. Als P toch op de omgeschreven cirkel ligt dan zal een van deze drie lengtes gelijk zijn aan de som van de anderen.

In onderstaande tekening wordt ABC over 60° gedraaid rond het punt C. De zijden van de driehoek PP’A zijn gelijk aan PA,PB en PC, dus hebben we inderdaad een driehoek geconstrueerd met als zijden PA,PB en PC.