Lineaire recursieve rijen

Geplaatst op 16 maart 2018 door admin

Een rij $a_n$ voldoet aan een lineaire recurrentie als

$c_ka_{n+k}+c_{k-1}a_{n-k-1}+\cdots+c_1a_{n+1}+c_0a_n=0$

De rij $a_n$ noemt men dan een lineaire recursieve rij.
De karakteristieke veelterm van bovenstaande lineaire recurrentie is de veelterm

$f(x)=c_kx^k+c_{k-1}x^{k-1}+\cdots c_1x+c_0$

Als we $f(x)$ in $\mathbb{C}$ kunnen ontbinden als

$c_k(x-r_1)^{m_1}(x-r_2)^{m_2}\cdotsc_k(x-r_l)^{m_l}$

dan voldoet $a_n$ aan de lineaire recurrentie als en slechts als er functies $g_i(x)$ , met graad kleiner of gelijk aan $m_i-1$ , bestaan zodat

$a_n=g_1(n)r_1^n+\cdots+g_l(n)r_l^n$

Als $m_1=m_2=\cdots=m_l=1$ , dan zijn alle functies $g_i(x)$ constanten.

Enkele speciale gevallen:

Bij een rekenkundige rij is $a_{n+1}=a_n+v$ met $a_0=a$ . Dit is geen lineaire recurrentie. Maar nu is ook $a_{n+2}=a_{n+1}+v$ . Aftrekken van de twee formules geeft : $a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=0$ . Dits is wel een lineaire recurrentie met karakteristieke veelterm $x^2-2x+1=(x-1)^2$ . Bijgevolg is $a_n=(An+B).1^n$ . Het is duidelijk dat $B=a$ , de beginterm van de rij en $A=v$ , het verschil van de rij. Zodoende is het algemeen voorschrift $a_n=n.v+a$ voor $n=0,1,...$
Bij een meetkundige rij is $a_{n+1}=a_n.q$ met $a_0=a$ . Dit is een lineaire recurrentie met karakteristieke veelterm $x-q$ . Bijgevolg is $a_n=A.q^n$ . Uit $a_0=a$ volgt dat $A=a$ en dus is het algemeen voorschrift $a_n=a.q^n$ voor $n=0,1,...$

Voorbeeld : $a_0=1$ en $a_1=4$ en elke ander term is het rekenkundig gemiddelde van de twee vorige termen. Een aantal termen van de rij: $1,4,\frac{5}{2},\frac{13}{4},...$ . Om de algemene term van de rij te bepalen, zoeken we eerst de karakteristieke veelterm van de lineaire recurrentie: $2a_{n+2}-a_{n+1}-a_n=0$ . Dan is $f(x)=2x^2-x-1=2(x-1)(x+\frac{1}{2}$ . Bijgevolg is $a_n=A1^n+B\Big(-\frac{1}{2}\Big)^n=A+B\Big(-\frac{1}{2}\Big)^n$ . Om A en B te bepalen gebruiken we dat $a_0=1$ en $a_1=4$ . Hieruit volgt dat $A=3$ en $B=-2$ , zodat $a_n=3-2\Big(-\frac{1}{2}\Big)^n$

Gaspard Monge

Geplaatst op 15 maart 2018 door admin

Gaspard Monge, geboren in Beaune op 9 mei 1746 en gestorven in Parijs op 28 juli 1818, was een Franse wiskundige die bekend werd door het opstellen van de beschrijvende meetkunde, het wetenschappelijk tekenen. Hij was medeoprichter van de École Polytechnique in 1794. In 1800 trok hij naar Antwerpen en richtte er de Hogere Zeevaartschool op. Zijn naam staat vermeld op de Eiffeltoren.

Bij de perspectivische projectie van een ruimtelijk object op een plat vlak worden over het algemeen de werkelijke grootten van lengte en hoeken niet bewaard. Om dit toch gedaan te krijgen ontwikkelde Monge een bijzondere projectietechniek . In het boek Géométrie Déscriptive uit 1798 presenteerde hij een nieuwe methode om ruimtelijke voorwerpen systematisch en exact te beschrijven. Je kiest twee vlakken in de ruimte die loodrecht op elkaar staan. Men noemt dit de projectievlakken. Het ene noemt men het horizontaal vlak (H) , het andere het verticaal vlak (V). Hun snijlijn noemen we de grondlijn. Nu projecteert men elk object zowel in H als in V, zoals in onderstaand voorbeeld.

Opgave 14

Geplaatst op 13 maart 2018 door admin

Op de zijden van een rechthoekige driehoek ABC tekent men twee vierkanten: BGFC en AEDC. De rechten AG en BE snijden elkaar in I. Verder is H het snijpunt van AG met BC en J het snijpunt van BE met AC. Bewijs dat de oppervlakte van ABI gelijk is aan de oppervlakte van IHJC.

Antwoord

We maken eerst een tekening
We kunnen beter bewijzen dat de oppervlakte van de driehoeken ABH en BJC dezelfde zijn door bij de opgave de oppervlakte van BIH toe te voegen aan beide delen.
Dus moet $|BH|.|AC|=|JC|.|BC|$ of $\dfrac{|AC|}{|BC|}=\dfrac{|JC|}{|BH|}$ .
Nu zijn de driehoeken ACH en BGH gelijkvormig (HH= rechte hoek en overstaande hoeken), dus geldt $\dfrac{|AC|}{|BC|}=\dfrac{|HC|}{|BH|}$ . Bijgevolg rest ons te bewijzen dat $|JC|=|HC|$ .
Ook driehoeken BJC en BED zijn gelijkvormig ( HH= gemeenschappelijke hoek en rechte hoek), dus is $\dfrac{|JC|}{|ED|}=\dfrac{|BC|}{|BD|}$ of $|JC|.|BD|=|BC|.|ED|$ . Bijgevolg is $|JC|.(|BC|+|AC|)=|BC|.|AC|$ .
Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken AHC en AGF volgt op een analoge wijze dat $|HC|.(|BC|+|AC|)=|BC|.|AC|$ .
Uit de twee laatste formules volgt dan inderdaad dat $|JC|=|HC|$ , net wat we wilden bewijzen.

Een vierkant vol getallen

Geplaatst op 11 maart 2018 door admin

$\begin{array}{ccc} 1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}$

In bovenstaand vierkant zien we dat de som van de elementen op de diagonalen gelijk is : $1+5+9=3+5+7=15$ . Het is duidelijk dat dit ook geldt voor een 2×2 vierkant met de getallen 1,2,3 en 4:

$\begin{array}{cc} 1&2\\3&4\end{array}$

De vraag is nu of we dit kunnen veralgemenen: Als we de getallen $1,2,\cdots,n^2$ in een nxn rooster plaatsen, in stijgende volgorde, is dan de som van de elementen op de twee diagonalen dezelfde en zo ja wat is die som?

We bekijken eerst welke elementen op de diagonaal staan die links boven vertrekt. Het eerste element is 1 en het volgende staat n + 1 plaatsen verder. Het derde staat weer n + 1 plaatsen verder. Bijgevolg zijn de elementen op die diagonaal van de vorm $1+k(n+1)$ waarbij $k:0,,2,\cdots, n-1$ .
De som van die elementen is dan $S=1+1+(n+1)+1+2.(n+1)+\cdots+1+(n-1)(n+1)$ .
Uitgewerkt geeft dit: $S=n+\dfrac{(n-1)n}{2}.(n+1)=\dfrac{n^3+n}{2}$ .
Nu de elementen op de andere diagonaal. Het eerste element is n. het volgende ligt één plaats voor 2n, het derde 2 plaatsen voor 3n. De elementen op die diagonaal zijn dus van de vorm : $k.n-(k-1)$ met $k:1,2,\cdots,n$ .
De som van die elementen is $T=n+2n-1+\cdots+n.n-(n-1)$ .
Uitgewerkt geeft dit : $T=n.\dfrac{n(n+1)}{2}-\dfrac{(n-1)n}{2}=\dfrac{n^3+n}{2}$ .
Hieruit volgt inderdaad dat $S=T$ . We kunnen de eiegenschap dus wel degelijk veralgemenen en de ‘magische’ som van het vierkant is
$\dfrac{n^3+n}{2}$

Opgave 13

Geplaatst op 6 maart 2018 door admin

Wat is groter $2017^{2018}$ of $2018^{2017}$ ?

Antwoord

Noteer 2017 = x en 2018 = y, dan moeten we zoeken welke van de twee, $x^y$ of $y^x$ , het grootst is. Hierbij is $0<x<y$ .
Als we zouden veronderstellen dat $x^y > y^x$ , dan is komt dit neer op $y \ln x > x \ln y$ , want de natuurlijke logaritmische functie is stijgend.
Dit is te herschrijven als : $\dfrac{\ln x}{x}> \dfrac{\ln y}{y}$ .
Daaro onderzoeken we de functie $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ .
$f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$ . Bijgevolg is $f'(x)<0$ als $x>e$ , en is f daar dalend.
Klaar! : Omdat $e<x<y$ en omdat f dalend is rechts van e, zal de volgorde van de beelden worden omgedraaid , dus $f(x)>f(y)$ en bijgevolg is
$2017^{2018}>2018^{2017}$

Wiskunde is leuk

Maandelijks archief: maart 2018

Lineaire recursieve rijen

Gaspard Monge

Opgave 14

Op de zijden van een rechthoekige driehoek ABC tekent men twee vierkanten: BGFC en AEDC. De rechten AG en BE snijden elkaar in I. Verder is H het snijpunt van AG met BC en J het snijpunt van BE met AC. Bewijs dat de oppervlakte van ABI gelijk is aan de oppervlakte van IHJC.

Een vierkant vol getallen

Opgave 13

Wat is groter $2017^{2018}$ of $2018^{2017}$ ?

Op de zijden van een rechthoekige driehoek ABC tekent men twee vierkanten: BGFC en AEDC. De rechten AG en BE snijden elkaar in I. Verder is H het snijpunt van AG met BC en J het snijpunt van BE met AC. Bewijs dat de oppervlakte van ABI gelijk is aan de oppervlakte van IHJC.

Wat is groter of ?

Wat is groter $2017^{2018}$ of $2018^{2017}$ ?