Puzzels door de eeuwen heen

Geplaatst op 26 maart 2018 door admin

Puzzels, raadsels, denkspelen hebben de mensheid altijd al gefascineerd Archeologische opgravingen hebben hun aanwezigheid kunnen vaststellen bij vrijwel alle beschavingen. Uit de verre oudheid kennen we onder andere het koningsspel van Ur en het Senet bordspel uit Egypte:

Oorspronkelijk was de functie van die denkspelen eerder mythisch-religieus. Bordspelen konden aanwijzingen geven over het verloop van een oorlog. Via tekens kon de Godheid communiceren met de mensheid. Vooral de getallen hadden dan een magische betekenis. Denk maar aan het magische vierkant van Lo Shu. Voor de Chinezen waren de oneven getallen mannelijk en was het kruis het symbool van mannelijkheid en goddelijkheid.

In de loop van de geschiedenis is de klemtoon evenwel verschoven en is men het spel meer gaan bekijken als een aangenaam tijdverdrijf. De spelletjes waren fascinerend omwille van de uitdaging die er in school. Ook beroemde wiskundigen hebben zich ermee bezig gehouden: Alcuïnus met het probleem van de wolf, de geit en de kool; Fibonacci met het konijnenprobleem, Gauss met de verplaatsing van de dames op een schaakbord,…

Nog later werden vele intellectuele spelletjes uit de recreatieve sfeer gehaald en werden onderworpen aan een grondige wiskundige analyse. Neem het voorbeeld van de 7 bruggen van Königsberg met de grafentheorie of het vierkleurenprobleem. De banden tussen recreatieve en ernstige wiskunde werden aangehaald en ingewikkelde wiskundige technieken werden gebruikt bij de analyse van schijnbaar eenvoudige problemen.

Eenheden in de groepsring ZQ_8

Geplaatst op 25 maart 2018 door admin

De vierde groep van orde 8 waarvan we de groepsring ZG en de eenheden zullen berekenen is de niet-abelse groep $Q_8$ , ook wel de quaternionengroep genoemd.

Net als bij de andere groepen van orde 8, die we al bestudeerd hebben, zullen hier ook alle eenheden triviaal zijn. Lees de verklaring hier.

Zweedse Wiskunde olympiade

Geplaatst op 23 maart 2018 door admin

De Zweedse wiskunde olympiade ( Svenska matematiska olympiaden) is een wedstrijd voor middelbare scholieren, die jaarlijks gehouden wrodt door de Zweedse Mathematical Society (SMS) sinds 1961. Ze mikt vooral op de probleemoplossende vaardigheden van de studenten.

De Swedish Mathematical Society (SMS) is een non-profit organisatie die werkt aan het bevorderen van wiskunde. Ze werd opgericht in 1950 en heeft ongeveer 500 leden. De voornaamste activiteiten zijn de verdeling van de prijs Wallenberg aan prominente jongere wiskundigen, toekenning van beurzen aan jonge onderzoekers, en het organiseren van de wiskunde olympiade.

De wedstrijd verloopt zowel individueel als in teams. De individuele competitie bestaat uit twee delen, een kwalificatie wedstrijd in de scholen eind september en een finale voor de 20 beste van de kwalificatieronde. De finale vindt plaats op het einde van november. Elke school met ten minste drie deelnemers zal automatisch worden opgenomen in de een wedstrijd voor teams. De som van de drie beste individuele resultaten wordt gemaakt en de vijf beste teams worden uitgenodigd voor een finale: SMT Lagfinal “Pythagoreïsche enigma”. De eerste Zweedse Wiskunde Olympiade vond plaats in 1961.

Meer info vindt je op hun website, deze is wel enkel inhet Zweeds. De opgaven van de finales, in het Engels kan je ook hier terugvinden.

Opgave 15

Geplaatst op 20 maart 2018 door admin

Zoek het algemeen voorschrift van de rij $a_{n+1}-2a_n=F_n$ met $a_0=0$ , waarbij $F_n$ de rij van Fibonacci is met $F_0=0,F_1=1,F_2=1,...$

Antwoord

Het rechterlid van de formule is niet nul, zodat we geen lineaire recurrente rij krijgen. Maar dat kunnen we verhelpen door ook te schrijven dat $a_{n+2}-2a_{n+1}=F_{n+1}$ en $a_{n+3}-2a_{n+2}=F_{n+2}$ .
De laatste vergelijking verminderd met de vorige en de opgave geeft, gebruikmakend van de eigenschappen van de rij van Fibonacci, dat $a_{n+3}-3a_{n+2}+a_{n+1}+2a_n=0$ .
De karakteristieke vergelijking van deze lineaire recurrentie is $x^3-3x^2+x+2=(x-2)(x^2-x-1)$ . Volgens de theorie van de lineaire recurrente rijen is dan $a_n=A.2^n+B.\alpha^n+C.\beta^n$ . Hierbij is $\alpha=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ en $\beta=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ . We weten, ook door gebruik te maken van de theorie van de lineaire recurrentie, dat $F_n=\dfrac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}$ .
In $a_n=A.2^n+B.\alpha^n+C.\beta^n$ , bepalen we $A,B$ en $C$ door gebruik te maken van $a_0=0,a_1=0$ en $a_2=1$ . We vinden $A=1$ , $B=-\dfrac{\alpha^2}{\alpha-\beta}$ en $C=\dfrac{\beta^2}{\alpha-\beta}$ .
Bijgevolg is $a_n=2^n-F_{n+2}$ .

Ongelijkheden en gemiddelden

Geplaatst op 19 maart 2018 door admin

Neem n positieve getallen $x_1,x_2,\cdots,x_n$ . Dan definieren we:

Het rekenkundige gemiddelde: $RG = \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$ .
Het meetkundig gemiddelde: $MG = \sqrt[n]{x_1.x_2.\cdots.x_n}$ .
Het harmonisch gemiddelde: $HG = \dfrac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}$ .
Het r-de machtsgemiddelde: $P_r =\sqrt[r]{ \dfrac{x_1^r+x_2^r+\cdots+x_n^r}{n}}$ . Voor $r=2$ spreken we ook van het kwadratisch gemiddelde.