Maandelijks archief: februari 2018

Taart snijden

Geplaatst op door

Hoe moet je een taart snijden zodat je 1,2,3,…, n personen een even groot stukje kan aanbieden?

We zoeken naar het kleinst aantal taartdelen dat je nodig hebt om elk aantal personen kleiner of gelijk aan n een even groot stuk taart te geven.

Voor n = 2 verdeel je de taart gewoon in de helft. Zijn er 2 personen (jezelf inbegrepen) op het feestje dan geef je elk 1 stuk. Ben je alleen dan neem je gewoon de hele taart.

Voor n = 3 kan de de taart in zes gelijke stukken verdelen. Als er twee personen zijn op het feestje dan geef je elk 3 stukken. Zijn er 3 personen aanwezig geef je elk 2 stukken. Maar kan je het niet doen met minder stukken?  Als je de taart verdeelt in \dfrac{1}{6},\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3} heb je maar 4 stukken nodig. Zijn er 2 personen op het feest dan geef je  een stuk \dfrac{1}{3} en een stuk \dfrac{1}{6}. Zijn er 3 personen dan geef je elk 2 stukjes \dfrac{1}{6}.

Voor n = 4 heb je maar  6 stukken nodig.Deze hebben een grootte van \dfrac{1}{12},\dfrac{1}{12},\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4}. Bij 2 personen geef je elk \dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{4}. Met 3 personen geef je twee keer \dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{4} en 1 keer \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}. Met 4 personen geef je twee keer \dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{6} en 2 keer \dfrac{1}{4}.

Voor n = 5 moet je de taart in minimaal 9 stukjes verdelen om hem daarna eerlijk te kunnen verdelen. De grootte is:\dfrac{1}{60},\dfrac{1}{30},\dfrac{1}{20},\dfrac{1}{12},\dfrac{7}{60},\dfrac{2}{15},\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{5}.
n=2: \dfrac{1}{60}+\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{7}{60}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{2}{15}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{5}
n=3: \dfrac{1}{60}+\dfrac{7}{60}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{15}+\dfrac{1}{5}
n=4: \dfrac{1}{60}+\dfrac{1}{30}\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{7}{60}+\dfrac{2}{15}
n=5: \dfrac{1}{60}+\dfrac{1}{20}+\dfrac{2}{15}=\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{7}{60}=\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{5}

Voor n=6 heb je 11 stukjes nodig met grootte \dfrac{1}{60},\dfrac{1}{30},\dfrac{1}{20},\dfrac{1}{15},\dfrac{1}{12},\dfrac{1}{12},\dfrac{1}{10},\dfrac{7}{60},\dfrac{2}{15},\dfrac{3}{20} en \dfrac{1}{6}.

Het probleem wordt steeds moeilijker. Voor n = 7 heb je 14 stukken nodig, voor n = 8 heb je 16 stukken nodig. Tot nu toe heeft niemand kunnen uitrekenen wat het kleinst aantal taartdelen is als n groter is dan 8.

Sierpinski getallen

Geplaatst op door

De Poolse wiskundige Waclaw Sierpinski (1882-1969) is vooral bekend van zijn driehoek. minder gekend zijn de zogenaamde Sierpinski getallen.

Een Sierpinski getal is een oneven getal k zodat k.2^n+1, voor geen enkele waarde van n een priemgetal is. Zo is 3 geen Sierpinski getal want 3.2^1+1=7 is priem. Ook 5 en 7 zijn geen Sierpinski getallen want 5.2^1+1=11 en 7.2^2+1=29 zijn allebei priemgetallen. In 1960 bewees Sierpiński dat er een oneindig aantal oneven gehele getallen k bestaan die geen priemgetallen opleveren.

Het is niet eenvoudig Sierpinski getallen te vinden. Het kleinste getal, waarvan we zeker weten dat het een Sierpinski getal is, is 78557. In 1962 bewees J.Selfridge dat 78557.2^n+1 nooit een priemgetal is. Het is getal 78557.2^n+1 is zelfs, voor elke waarde van n, deelbaar door 3,5,7,13,19,37 en 73.

Eén van de open problemen in de getaltheorie luidt: wat is het kleinste Sierpinski getal?  Men vermoedt dat dit 78557 moet zijn, maar er is daarvan nog steeds geen bewijs voor gegeven.

 

Constructies in verband met ontoegankelijkheid

Geplaatst op door

We bestuderen constructies  die we normaal gesproken wel kunnen uitvoeren, maar die nu niet uit te voeren zijn omdat bepaalde delen van de figuur ontoegankelijk zijn. Om zulke constructies uit te voeren zijn spiegelingen rond een as uitermate geschikt. We weten immers dat een spiegeling evenwijdigheid, loodrechtheid en ook afstanden en hoeken bewaart. Hierdoor wordt het mogelijk bepaalde gegevens toch bereikbaar te maken.



Bepaal de bissectrice van de twee gegeven rechten.}




    

  •  Teken een willekeurige rechte m die de twee gegeven rechten (die we a en b noemen) snijdt.
    • 

  • Spiegel de gegeven rechten rond m: a' en b'.
    • 

  • Bepaal het snijpunt S van a' en b'.
    • 

  • Construeer de bissectrice d van a' en b'. Dit is een basisconstructie.
    • 

  • Bepaal tenslotte het spiegelbeeld d', bij spiegeling van d rond m.
    • 




					

		
		
	


				
					
	

		

						
Een driehoek verdelen in een aantal driehoeken met gelijke oppervlakte

			
						

				Geplaatst op   door  			

			
					


				

			
Is het mogelijk om een driehoek te verdelen in een willekeurig aantal driehoeken met gelijke oppervlakte?


    

  • Voor n = 2  gebruiken we een zwaartelijn. Driehoeken ACM en ABM hebben een gelijke basis ( CM = MB)  en een zelfde hoogte ( afstand van A tot BC).
    

    • 

  • Voor n = 4 gebruiken we  de constructie van de middenparallel. Hier hebben we 4 congruente driehoeken, dus 4 driehoeken met gelijke oppervlakte.
    

    • 

  • Voor n = 6 tekenen we de drie zwaartelijnen. Noteren we met S(ABC) de oppervlakte van driehoek ABC. Dan is S(AOD)=S(DOB), S(BOE)=S(COE) en S(FOC)=S(AOF). Maar ook is S(ACE)=S(AEB) of S(AFO)+S(FOC)+S(COE)=S(AOD)+S(ODB)+S(BOE). Na vereenvoudiging volgt hieruit dat S(AOF)=S(AOD). Herhaling met de twee andere zwaartelijnen levert uiteindelijk volgend resutaat: de drie zwaartelijnen verdelen driehoek ABC in zes driehoeken met gelijke oppervlakte.
    

    • 

  • Voor willekeurige n werken we als volgt. Neem het voorbeeld van n = 5. Als we 5 driehoeken moeten hebben met gelijke oppervlakte, kiezen we een punt P op BC zodat 4.S(ACP)=S(APB). Omdat  deze driehoeken dezelfde hoogte hebben volstaat het P zo te kiezen dat PB= 4. CP. Daarna kiezen we een punt Q op AB zodat 3.S(PAQ)=S(PQB). Analoog voor de consructie van R en S.
    

    •