Maandelijks archief: januari 2018

Bass cyclische eenheden

Geplaatst op door

Als G een abelse groep is, dan zijn de bicyclische eenheden in \mathbb{Z}G allemaal triviaal. Om effectief eenheden te bepalen in dit geval moeten we dus op zoek gaan naar andere voorbeelden. Het is de Amerikaanse wiskundige Hyman Bass die  een goede constructie maakte en de Bass cyclische eenheden introduceerde in  H. Bass, The Dirichlet unit theorem, induced characters and Whitehead groups of finite groups,
Topology 4 (1966) 391–410.

In volgende tekst kan je meer lezen over de definitie en de eigenschappen van deze Bass cyclische eenheden.

Acht munten wegen

Geplaatst op door

Iemand heeft 8 munten, waarvan er 7 hetzelfde gewicht hebben, één weegt iets minder. We hebben alleen een balans tot onze beschikking, zonder gewichten. Hoe kunnen we in 2 wegingen vinden, welke de lichte munt is?

  • Leg drie munten aan de ene zijde en drie munten aan de andere zijde van de weegschaal.
  • Als de balans in evenwicht is , dan is de lichte munt bij de twee niet-gewogen munten en kan je in de tweede weegbeurt 1 munt aan beiden kanten leggen. Zo zie je onmiddellijk wel de lichte munt is.
  • Was de balans, na de eerste weging , niet in evenwicht, dan neem je de drie munten die minder wegen dan de drie andere.
  • Neem er twee uit die drie en leg 1 muntstuk aan elke kant van de weegschaal.
  • Is de balans in evenwicht, dan is de overgebleven munt de lichtste. Is de balans niet in evenwicht, dan zie je welke munt de lichtste is.
  • Dus heb je in ieder geval maar twee wegingen nodig.

Boom van Pythagoras

Geplaatst op door

De boom van Pythagoras is een fractal bedacht door de Nederlandse wiskundeleraar Albert E. Bosman in 1942 en werd vernoemd naar Pythagoras vanwege de eigenschap dat het vierkant op de schuine zijde getekend, even groot is als de twee vierkanten gebouwd op de rechthoekszijden.  De fractal wordt opgebouwd door vierkanten en lijkt op de vorm van een dwarsdoorsnede van een broccoli of bloemkool.

 

Stochastische wandelingen

Geplaatst op door

We bestuderen enkele eenvoudige stochastische wandelingen in d = 1,2 of 3 dimensies. Hier beweegt een fictieve wandelaar over het rooster \mathbb{Z}^d door vanuit een punt naar één van de 2d buurpunten te lopen. Bij elke stap die hij doet zijn alle 2d richtingen even waarschijnlijk. Bovendien zijn alle stappen onafhankelijk van elkaar. De stochastische wandeling wordt ook wel eens de dronkemanswandeling genoemd, omdat de stappen van een (echt) dronken man goed gemodelleerd zouden kunnen worden met toevallige gebeurtenissen.



We onderzoeken de  stelling van Polya die zegt dat het deeltje zeker terugkomt naar de beginpositie enkel en alleen als de wandeling gebeurt in 1 of 2 dimensies. De stelling van Pólya is ook wel eens als volgt geformuleerd: a drunken man will always come home, but a drunken bird never will. Lees meer hierover in volgende tekst.

					

		
		
	


				
					
	

		

						
Opgave 9

			
						

				Geplaatst op   door  			

			
					


				

			
Definieer a_1=2018 en a_{n+1}=9^{a_n} voor n=1,2,…

Bepaal de laatste twee cijfers van a_{2018}.



				
Antwoord

				


    

  • We kunnen voor k=1,2,...,10 de laatste twee cijfers berekenen van 9^k. We vinden 9^{10}=3486784401 en eindigt dus op 01.
    • 

  • Als (9^{10})^n eindigt op 01, dan zal ook (9^{10})^{n+1} eindigen op 01, want (9^{10})^{n+1}=(9^{10})^n.9^{10}=(\cdots 01).(\cdots 01)=(\cdots 01).
    • 

  • Door inductie hebben we dus bewezen dat elke macht van 9^ {10} eindigt op 01.
    • 

  • Dan is a_2=9^{2018}=(9^{10})^{201}.9^8=(\cdots01).43046721 en dus eindigt a_2 op 21.
    • 

  • Verder is a_3=9^{\cdots 21}=(9^{10})^{\cdots 2}.9^1=(\cdots 01).9=\cdots 09. Bijgevolg eindigt a_3 op 09.
    • 

  • Nu is a_4=9^{\cdots 09}=(9^{10})^{\cdots 0}.9^9=(\cdots 01).387420489=\cdots 89.
    • 

  • Het is duidelijk dat alle verdere termen van de rij  op 89 zullen eindigen.
    • 

  • Dus a_{2018} eindigt op 89.
    •