Wiskunde is leuk

Twee haiku’s

Geplaatst op 31 januari 2018 door admin

De omtrekshoeken

op een halve cirkelboog

altijd zijn ze recht

Evenwijdigheid

twee lijnen snijden elkaar

toch op oneindig

Perfecte vierkanten

Geplaatst op 21 januari 2018 door admin

Een perfect vierkant van orde n is een vierkant dat opgedeeld is in n verschillende vierkanten waarvan geen twee vierkanten even groot zijn.
Het eerste perfecte vierkant werd in 1939 gevonden door Roland Sprague. Dit perfecte vierkant had orde 55. In de jaren daarop vond men nog meer perfecte vierkanten, ook van kleinere orde.

In 1962 begon de Nederlandse informaticus Adrianus Duijvestijn een zoektocht naar het perfecte vierkant met de laagste orde. Het duurde nog tot 1978 voordat computers snel en krachtig genoeg waren om dit probleem op te
lossen.

Het perfecte vierkant met de laagste orde wordt opgebouwd met 21 kleinere vierkantjes en heeft een zijde van 112.

Opgave 10

Geplaatst op 20 januari 2018 door admin

Bereken de vierkantswortel van x met

$x=\underbrace{1\cdots 1}_n\underbrace{2\cdots 2}_{n+1} 5$

Antwoord

$x=10^{2n+1}+\cdots +10^{n+2}+2.10^{n+1}+\cdots+2.10+5$ .
De termen met een factor 2 splitsen we op en we schrijven 5 als 1+1+3.
We vinden dan
$x=(10^{2n+1}+\cdots +10^{n+2}+10^{n+1}+\cdots+10+1)+(10^{n+1}+\cdots+10+1)+3$ .
Gebruiken we nu de partiële som formule voor de termen van een meetkundige rij: $x=\dfrac{10^{2n+2}-1}{9}+\dfrac{10^{n+2}-1}{9}+3$
We brengen op gelijke noemer: $x=\dfrac{10^{2n+2}+10.10^{n+1}+25}{9}=\Big(\dfrac{10^{n+1}+5}{3}\Big)^2$ .
Dan is $\sqrt{x}=\dfrac{10^{n+1}+5}{3}$ .
Hieruit volgt dat $\sqrt{x} =\dfrac{1 \overbrace{0\cdots0}^{n+1}+5}{3}=\dfrac{ \overbrace{9\cdots9}^{n}0+15}{3}$ .
Uiteindelijk vinden we dat de vierkantswortel van x gelijk is aan
$\overbrace{3\cdots3}^n5$

Meetkundige rij en reeks

Geplaatst op 19 januari 2018 door admin

Een meetkundige rij (MR) $u_n$ is een rij van een getallen zodat het quotiënt van twee opeenvolgende termen van die rij constant is. Deze constante noemt men de reden
(ratio) $r$ van de rij

De algemene term van de rij is : $u_n=u_1.r^n$
Een recursie voorschrift : $u_n=u_{n-1}.r$
De som van n termen van een MR wordt gegeven door
$S_n=u_1.\dfrac{1-r^n}{1-r}$
Een meetkundige reeks $\sum_{i=1}^{\infty}u_i$ convergeert als $|r|<1$ . In dat geval is de som van de reeks gelijk aan
$S=\dfrac{u_1 }{1-r}$

Braziliaanse Wiskunde Olympiade

Geplaatst op 17 januari 2018 door admin

De Braziliaanse wiskundige Olympiade, OBM (Olimpíada Brasileira de Matemática) werd in 1979 opgericht en is tegenwoordig een samenwerkingsverband tussen SBM
(Sociedade Brasileira de Matematika) en IMPA (Instituto de Matemática Pura e Aplicada) .

De OBM-website is hier te vinden De OBM organiseert de nationale wiskundige olympiades, evenals verschillende regionale olympiades. Daarnaast vertegenwoordigt de OBM Brazilië in internationale competities zoals IMO – Internationale Wiskundige Olympiade en de Ibero-Amerikaanse Wiskundige Olympiade. Onlangs, in 2005, heeft de federale overheid de Braziliaanse wiskundige olympiade van openbare scholen opgericht, OBMEP-Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas. Hun website vind je hier.