Wiskundige intuïtie

Geplaatst op 29 december 2017 door admin

De Franse wiskundige Henri Poincaré (1854-1912) getuigt ( Mathematical Creation, in The foundations of Science):” geheel tegen mijn gewoonte dronk ik zwarte koffie en ik kon niet slapen. De ideeën kwamen bij bosjes op en ik voelde dat ze met elkaar in botsing kwamen, zodat paren van ideeën zich bij elkaar aansloten, om het zo maar eens te zeggen, tot ze een stabiele combinatie vormden. Het schijnt dat in zulke gevallen, men getuige is van het werk dat door het eigen onbewuste gedaan wordt.

De rede werkt sequentieel: stap voor stap komt men vanuit de aannamen tot nieuwe
uitspraken. Bij de intuïtie gaat het anders: men komt opeens tot een uitspraak en men
weet eigenlijk niet hoe. Intuïtie vormt een belangrijk element bij de beoefening van de
wiskunde .

Een uitspraak verkregen via de intuïtie kan een belangrijke schakel vormen in een complex bewijs of begrip. Deze intuïtieve stap moet nog wel gecontroleerd worden. In een uiteindelijk opgeschreven bewijs ziet men dan vaak niet meer terug of een stap op grond van redeneren of op grond van intuïtie gezet is.

Voor de Duitse wiskundige Gauss (1777-1855) kwam de grote intuïtie van God. De
Franse wiskundigen Poincaré (1854-1912) en Hadamard (1865-1962) hebben uitgebreid over dit onderwerp geschreven. Poincaré stelt dat intuïtie ontstaat
doordat het onbewuste voortdurend met de materie bezig is. De wiskundige schoonheidsbeleving speelt hierbij een belangrijke rol, doordat het onderbewustzijn het
bewuste denken ‘wakker maakt’ wanneer er een wiskundige ontdekking gedaan is.
Meestal gaan deze gepaard met een grote schoonheidsbelevenis. Daarna moet de intuïtie wel op haar juistheid geverifieerd worden. Een andere Franse wiskundige, Hadamard (1865-1963) stelt dat het onbewust denken niet volgens lukraak toeval verloopt, maar volgens bepaalde patronen. Hiervoor is wel de juiste geestelijke voorbereiding nodig. Dan maakt de geest in eerste instantievele combinaties waaruit in tweede instantie de juiste gekozen worden.

Differentiequotiënten bij veeltermen en afgeleide formules

Geplaatst op 28 december 2017 door admin

Veronderstel dat $P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$ . Definieer het differentiequotiënt van $P(x)$ , behorende bij toename $h_1$ , als:

$\Delta_{h_1}P(x)=\dfrac{P(x+h_1)-P(x)}{h_1}$

$\Delta_{h_1}P(x)$ is een veelterm van de $n-1$ ste graad , met $a_n.n$ als coëfficiënt van de hoogtse macht van $x$ .

We kunnen op zijn beurt ook het differentiequotiënt van $\Delta_{h_1}P(x)$ berekenen, bij een toename $h_2$ . We noteren $\Delta_{h_2}(\Delta_{h_1}P(x))$ als $\Delta_{h_2h_1}P(x)$ . Ook dit is een veelterm, nu van graad $n-2$ en met $a_n.n(n-1)$ als coëfficiënt van de hoogste macht van $x$ . Bij elke differentiequotiënt verlaagt de graad met 1. Als we $n$ differentiequotiënten na elkaar uitvoeren, vinden we dus een constante, en die blijkt onafhankelijk te zijn van de $n$ toenames $h_i$ . We krijgen :

$\Delta_{h_n \cdots h_1}P(x)=a_n.n!$

Kies $h_1=h_2=\cdots=h_n=1$ en schrijf $\Delta^i$ in plaats van $\Delta_{11\cdots1}$ , dan volgt:

$\begin{array}{l} \Delta^1P(x)=P(x+1)-P(x)\\ \Delta^2P(x)=P(x+2)-2P(x+1)+P(x)\\ \Delta^3P(x)=P(x+3)-3P(x+2)+3P(x+1)-P(x)\end{array}$

We besluiten hieruit:

$a_n.n!=\Delta^nP(x)= \sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}P(x+n-k)$

We kunnen bovenstaande formule nog vereenvoudigen door $x+n$ in plaats van $x$ als variabele te nemen. Dit mag omdat de substitutie $x \leftrightarrow x+n$ in $P(x)$ een veelterm geeft met dezelfde kopcoëfficiënt.

$a_n.n!= \sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}P(x-k)$

Als we $k$ vervangen door $n-k$ , dan wordt, volgens dezelfde opmerking als hierboven, deze formule:

$a_n.n!= \sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\binom{n}{k}P(x+k)$

Opmerkingen:

Neem $P(x)=x^n$ , dan wordt bovenstaande formule: $\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}(x-k)^n=n!$
We controleren voor $n=2$ . Het linkerlid wordt $x^2-2(x-1)^2+(x-2)^2=x^2-2(x^2-2x+1)+(x^2-4x+4)=2=2!$
Omdat in vorig punt het rechterlid een constante is, kan je in het linkerlid $x$ vervangen door om het even welke uitdrukking, bijvoorbeeld : $\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}(2^{n+1}-n-k-1)^n=n!$

Plato en de verdubbeling van de kubus

Geplaatst op 23 december 2017 door admin

Het probleem van het ’verdubbelen van de kubus’ luidt: construeer de ribbe van een kubus die een twee keer zo grote inhoud heeft als die van een gegeven kubus.

Volgens de legende consulteerden de burgers van Athene het orakel van Apollo in Delos in 430 v.Chr. om te horen hoe zij de pest, die een vernietigende werking had op hun land, moesten bestrijden. Het orakel antwoordde dat, om de pest te stoppen, zij hun altaar in grootte moesten verdubbelen. De Atheners verdubbelden plichtsgestrouw elke zijde van het altaar, en de pest verslechterde! De correcte interpretatie was dat zij het volume van het altaar moesten verdubbelen, niet slechts de lengte van de zijdes; dit bleek een zeer moeilijk oplosbaar probleem. Ten gevolge van deze legende wordt het probleem vaak het Delische probleem genoemd.

De oude Grieken poogden de constructie uit te voeren met behulp van ’hun’ constructiemiddelen: de passer en liniaal. Maar het bleek daarmee niet te kunnen.
Vele eeuwen later werd bewezen dat de oplossing met passer en liniaal niet mogelijk is.
Echter, er zijn wel andere middelen om de constructie uit te voeren. Zo heeft Nicomedes (ca. 180 v.Chr.) de conchoïde, een bijzondere kromme lijn, ontdekt waarmee hij de oplossing kon construeren.

Wij geven een eenvoudige oplossing die toegeschrevn wordt aan Plato. Stel dat de gegeven kubus een ribbe heeft met lengte a en de gevraagde kubus een ribbe met de lengte x. Dan kunnen we het probleem als volgt omschrijven:
Gegeven: a; Construeer: een x die voldoet aan

$x^3 = 2a^3$

;

Denk je een rechthoekig trapezium ABCD waarin de diagonalen loodrecht op
elkaar staan .

Als we SC de lengte a geven en SB de lengte 2a, dan zal DS of p dus, gelijk zijn aan de gevraagde afstand. Het is duidelijk dat de driehoeken 1,2 en 3 allen gelijkvormig zijn ( gelijk hoeken via verwisselende binnenhoeken of complementen van verwisselende binnenhoeken). Hieruit volgt dat $\frac{a}{p}=\frac{p}{q}$ of $p^2=aq$ . Verder is ook $\frac{a}{p}=\frac{q}{2a}$ of $q=\frac{2a^2}{p}$ . Als we deze twee formules samnevoegen krijgen we $p^3=2a^3$ en dus is p het gewenste antwoord.

Even huisnummers

Geplaatst op 21 december 2017 door admin

Ik woon aan de kant van de even huisnummers in mijn straat. Als ik de huisnummers van de huizen links van mij optel en daarna die van rechts, dan zijn die twee sommen gelijk. Hoeveel huizen staan er aan de even kant in mijn straat en op welk nummer woon ik?

Veronderstel dat ik in het (k+1) ste huis woon, dan staan er k huizen links van mij, met nummers 2,4,6,…,2k. Dit zijn termen van een rekenkundige rij en dus kunnen we de som berekenen:

$S_l=\frac{1}{2}k.(2+2k)=k^2+k$

Als er n huizen staan in mijn straat, dan bevinden zich rechts van mij nog n-k-1 huizen, met nummer 2k+4,2k+6,…,2n. Ook hier hebben we een rekenkundige rij, dus :

$S_r=\dfrac{1}{2}(n-k-1)(2k+4+2n)=(n-k-1)(n+k+2)$

Nu moet $S_l=S_r$ . Dit geeft na uitwerking:

$2k^2+4k-(n^2+n-2)=0$

Dit is een Diophantische vergelijking. We zoeken naar gehele oplossingen . Bijgevolg moet $k=\dfrac{-4 \pm \sqrt{16+8(n^2+n-2)}}{4} \in \mathbb{Z}$ . Hieruit volgt:

$k=-1 \pm \sqrt{\frac{1}{2}(n^2+n)} \in \mathbb{Z}$

Daarom moet $n^2+n =2x^2$ met $x\in \mathbb{Z}$ . Dit valt te herschrijven als

$(2n+1)^2-8x^2=1$

Vergelijkingen van de vorm $x^2-Ay^2=1$ noemt men vergelijking van Pell. Dit type vergelijkingen is moeilijk op te lossen, maar we kunnen wel een aantal oplossingen ‘proberen’, omdat de straten bij ons niet zo lang zijn. Zo vinden we :

$\begin{array}{c|c|c} n&k+1&\text{huisnummer}\\ \hline \\ 1&1&2\\8&6&12\\49&35&70\\288&204&408 \end{array}$

De eerste oplossing is een beetje absurd: een straat met maar 1 huis. Bij de tweede oplossing telt de straat 8 huizen langs de even kant en woon ik in huisnummer 16. Links van mij heb je de nummers 2,4,6,8 en 10 met som 30 en rechts van mij de nummers 14 en 16, ook met som 30. De derde oplossing geeft een straat met 49 huizen en ik woon op nummer 70.

Wie ben ik?

Geplaatst op 18 december 2017 door admin

Mijn naam is Mommaerts Hector en ik ben doctor in de wiskunde. Ik woon in Okselaar , een deelgemeente van Scherpenheuvel-Zichem.

Ik heb ongeveer 40 jaar lesgegeven in een middelbare school, voornamelijk in de derde graad, bij leerlingen met 6 uur of 8 uur wiskunde.

Wiskunde is leuk

Maandelijks archief: december 2017