Cissoïde van Diocles

Geplaatst op 21 november 2017 door admin

Gegeven zijn een kromme $K_1$ en $K_2$ en een punt O. Door O trekt men een rechte die $K_1$ snijdt in $P_1$ en $K_2$ in $P_2$ . Op die rechte bepaalt men een punt P zodat $|OP|=|OP_1|-|OP_2|$ . Wanneer men de rechte nu laat draaien rond O, is de meetkundige plaats van de punten P een cissoïde(afkomstige uit het Grieks: kimos = klimop).

De cissoïde van Diocles verkrijgt men als $K_1$ een rechte is die raakt in een punt A aan een cirkel ( $K_2$ ). Voor O neem je het punt op de cirkel diametraal tegenover A.

Neem O als oorsprong van het assenstelsel en de rechte OA als X-as. Veronderstel dat de straal van de cirkel gelijk is aan a. De cirkel heeft als vergelijking $(x-a)^2+y^2=a^2$ en de raaklijn heeft als vergelijking $x=2a$ . Een willekeurige rechte door O kunnen we voorstellen door $y=\lambda x$ . Dan is $P_1(2a,2a\lambda)$ en $P_2(\dfrac{2a}{1+\lambda^2},\dfrac{2a\lambda}{1+\lambda^2})$ . Om de meetkundige plaats te vinden van de punten P, als de rechte rond O draait, moeten we $\lambda$ elimineren uit $y=\lambda x$ en uit $x=2a-\dfrac{2a}{1+\lambda^2}$ . Deze laatste voorwaarde bekomen we door de voorwaarde $|OP|=|P_1P_2|$ te projecteren op de X-as. Als resultaat krijgen we

$x(x^2+y^2)=2ay^2$

In Geogebra:

Binomiaalgetallen

Geplaatst op 20 november 2017 door admin

Het binomium van Newton zegt :

$(a+b)^n=\binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\cdots+\binom{n}{n-1}ab^{n-1}+\binom{n}{n}b^n$

De getallen $\binom{n}{k}$ noemt men de binomiaalcoëfficiënten. Je vindt ze terug in de driehoek van Pascal.

Een paar eigenschappen:

$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$
$\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}$
$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$
$\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\cdots+\binom{n}{n}=2^n$
$\binom{n}{0}-\binom{n}{1}+\binom{n}{2}-\cdots+(-1)^n\binom{n}{n}=0$
Als $p$ een priemgetal is dan is $p$ een deler van $\binom{p}{k}$ met $0<k<p$

Eenheden in de groepsring Z(C_2 xC_4)

Geplaatst op 16 november 2017 door admin

De tweede groep van orde 8 waarvan we de groepsring ZG en de eenheden zullen berekenen is de abelse groep $C_2 \times C_4$ .

In volgende tekst bewijzen we dat er enkel triviale eenheden zijn in $\mathbb{Z}(C_2 \times C_4)$

Ierse wiskunde olympiade

Geplaatst op 12 november 2017 door admin

De Ierse wiskunde olympiade ( IrMO) ios een nationale competitie voor middelbare school leerlingen. je kan er voor trainen op de mathematics enrichment centres ( NUI Galway, Maynoot University, University college Cork, University college Dublin, University of Limerick). Ze werd voor het eerst gehouden in 1988.

Het primaire doel van de verrijkingscursussen is om een liefde en waardering voor wiskunde te ontwikkelen onder getalenteerde studenten – dit wordt bereikt door dergelijke studenten bloot te stellen aan diepere, meer uitdagende en interessantere wiskundige problemen dan die worden aangetroffen in de school-syllabus.

De resultaten worden gebruikt om het team van 6 studenten samen te stellen voor de IMO. Meer informatie kan je vinden op hun website.

Werk van achter naar voren

Geplaatst op 6 november 2017 door admin

Bij het werken van achter naar voren veronderstellen we dat de conclusie klopt en gaan we daaruit allerlei conclusies trekken tot we ergens terechtkomen bij een bekende situatie of bij iets wat we gemakkelijk kunnen bewijzen.

Een voorbeeld:

Je hebt twee emmers zonder merkstreepjes, één van 9 liter en één van 4 liter. Hoe kan je hiermee precies 6 liter water uit een waterput afmeten?

De eindsituatie is zes liter in de grote emmer.
Wat is de situatie daarvoor? $6 =9-3$ , dus die 6 liter kan verkregen worden door 3 liter weg te gieten uit de volle emmer van 9 liter.
Om 3 liter te kunnen afgieten moet er in de kleine emmer juist 1 liter aanwezig zijn.
Maar $1 =9-4-4$ : dus \’e\’en grote emmer waaruit 2 keer de inhoud van de kleine emmer is weggegoten.
Besluit: we vullen de grote emmer met 9 liter en gieten 2 keer 4 liter over in de kleine emmer. Dan gieten we die ene liter in de kleine emmer. We vullen nu terug de grote emmer met 9 liter en gieten water over in de kleine emmer tot die volledig vol is. Er blijft dan 6 liter water over in de grote emmer.

Wiskunde is leuk

Maandelijks archief: november 2017