Maandelijks archief: september 2017

Spaanse wiskunde olympiade

Geplaatst op door

De Spaanse wiskunde olympiade, Olimpiada Mathmatica Espanola (of kortweg OME), werd voor het eerst gehouden in 1965. Ze bestaat uit 2 fases:

  • De districtfase: Gewoonlijk gehouden aan het einde van het eerste kwartaal ( in november ) in elk universiteitsdistrict; bestaat uit twee schriftelijke tests waarin in totaal acht problemen moeten worden opgelost. Deelnemers zijn middelbare schoolstudenten onder de 19 jaar . De drie besten mogen naar de volgende ronde.
  • De nationale fase: gaat door eind februari en bestaat uit twee schriftelijke tests van vier en een half uur, waarbij de deelnemers in totaal zes problemen moeten oplossen.

De problemen uit alle fasen vereisen geen speciale kennis van wiskunde, integendeel, het is de bedoeling ze op te lossen met logisch redeneren, met het vermogen om te gaan met nieuwe situaties en een bepaalde hoeveelheid geluk. Meer kan je lezen op hun website. Enkele opgaven met oplossingen vind je hier.

De schoonheid van de wiskunde volgens B.Russell

Geplaatst op door

Over de juistheid én de schoonheid van de wiskunde, volgende uitspraak van B.Russell (1872-1970), een Britse filosoof, historicus, logicus en wiskundige:

“Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty—a beauty cold and austere, like that of sculpture, without appeal to any part of our weaker nature, without the gorgeous trappings of painting or music, yet sublimely pure, and capable of a stern perfection such as only the greatest art can show.”

 

Wiskundige Haiku’s

Geplaatst op door

Een Haiku is een Japanse dichtvorm geschreven in 3 regels, die respectievelijk 5,7 en 5 lettergrepen tellen. De haiku drukt, in de klassieke vorm, een ogenblik ervaring uit, soms gelinkt aan en geïnspireerd door zen. De haiku is een vingerhoed vol emotie, waarin weinig ruimte is voor ontledingen en benaderende omschrijvingen.

Omdat wiskunde ook poëzie is, kan je proberen wat wiskundige begrippen in de Haiku te verwerken. Hieronder enkele voorbeelden gemaakt door Diana Huygens.

 

 

Druppels zijn bollen
trekken lijnen op de ruit,
cirkels in de plas

 

De ramen tranen
concentrische cirkels op
het vijverwater

 

Ik zucht en krijg er
langzaamaan een punthoofd van
een kegel gelijk

 

 

Gebruikmaken van de symmetrie

Geplaatst op door

Soms kan je, door gebruik te maken van de  symmetrie  in de tekening of de symmetrie van de gegevens, de opgave aanzienlijk vereenvoudigen.

Een voorbeeld: Los op in \mathbb{R}:

    \[(x+2013)(x+2014)(x+2020)(x+2021)=44\]

  • Dit is een vierdegraads vergelijking. Hiervoor kennen we geen algemene oplossingsmethode.
  • Dus: haakjes uitwerken en dan ofwel proberen te ontbinden in factoren ofwel de regel van Horner toepassen. Maar dit is niet aantrekkelijk want de getallen in de opgave zijn nogal groot.
  •  De getallen 2013,2014,2020 en 2021 liggen wel symmetrisch rond 2017!
  •  We vervangen x+2017 door een nieuwe variabele t. De opgave wordt nu:

        \[(t-4)(t-3)(t+3)(t+4)=44\]

    .

  • Dit kan je netjes uitrekenen tot:

        \[(t^2-16)(t^2-9)=44\]

  • Verder uitrekenen geeft: t^4-25t+100=0. Hieruit volgt dat t^2=20 of t^2=5.
  • De 4 oplossingen voor t zijn dan: \pm \sqrt{5} en \pm \sqrt{20}. En dus moet \newline x=-2017 \pm \sqrt{5} of x=-2017 \pm \sqrt{20}.

Hoeken

Geplaatst op door

Formuleren we een aantal eigenschappen van hoeken:

  • In onderstaande figuur zijn \overhat{S}_1 en \overhat{S}_3 overstaande hoeken. Overstaande hoeken zijn gelijk. De hoeken \overhat{S}_1 en \overhat{S}_4 zijn aanliggende hoeken . Hun som is 180^\circ.
    Daarom noemen we ze nevenhoeken.
  • Hoeken waarvan de benen onderling evenwijdig lopen zijn gelijk of supplementair  
  • Hoeken waarvan de benen onderling loodrecht op elkaar staan, zijn gelijk of supplementair.
      
  • Een buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de niet aanliggende binnenhoeken.
  • Een driehoek kan maar 1 rechte hoek en 1 stompe hoek hebben.
  • De som van de hoeken van een driehoek is 180^\circ.
  • De som van de binnenhoeken van een convexe n-hoek is (n-2).180^\circ.
  • Verlengt men, in eenzelfde richting, al de zijden van een convexe veelhoek, dan is de som van de gevonden buitenhoeken gelijk aan 360^\circ.