Maandelijks archief: augustus 2017

Strofoïde

Geplaatst op door

Analyse is het vakgebied dat zich bezighoudt met eigenschappen van functies, zoals extreme waarden, asymptoten, krommen en de door die krommen omsloten oppervlaktes en hellingen van raaklijnen.

De ontwikkeling van de analyse wordt aan Leibniz en Newton toegeschreven, eind 17e eeuw.  René Descartes (1596-1650) en Pierre de Fermat (1601-1665) zijn twee Fransen die een enorme bijdrage hebben geleverd aan het ontstaan van de analyse. Ze hebben namelijk, onafhankelijk en ongeveer gelijktijdig, de analytische meetkunde bedacht.
Beiden legden het verband tussen vergelijkingen en krommen van punten die aan die vergelijkingen voldoen, op de inmiddels bekende manier: met coördinaten. Fermat ging altijd uit van een kromme, gegeven door een vergelijking, terwijl Descartes een kromme als een meetkundig object zag, waar hij in sommige gevallen een vergelijking aan kon verbinden.

In deze context willen we graag volgende opgave bekijken:

Gegeven is een rechte l en een punt A. Door A worden rechten getrokken, die l snijden. In de figuur ziet men twee van die rechten getekend. Ze snijden l in de punten M_1
en M_2. De punten van de strofoïde ontstaan nu op de volgende wijze: Pas op AM_i en zijn verlengde de stukken M_iP_1 en M_iP_2  af beide gelijk aan M_iO .  De strofoïde is de meetkundige plaats van alle punten P_i die zo geconstrueerd kunnen worden. Met GeoGebra geeft dit :

Om de vergelijking te vinden van deze meetkundige plaats nemen we als X-as de rechte OA en als Y-as de rechte l. Het punt A is gegeven door A(a,0) . Een willekeurige rechte door A heeft als vergelijking y=\lambda(x-a). Het snijpunt M heeft dan coördinaten M(0,-\lambda a). Uitdrukken dat |MO| = |MP| doen we door te eisen dat x^2+(y+\lambda a)^2=\lambda^2 a^2.

De meetkundige plaats van alle punten P vinden we door \lambda te elimineren uit y=\lambda(x-a) en x^2+(y+\lambda a)^2=\lambda^2 a^2. Dit geeft:

    \[y^2=\dfrac{x^2(a-x)}{a+x}\]

.

Deze kubische kromme noemt men de strofoïde. We zien ze een eerste keer verschijnen in het werk van Evangelista Torricelli in 1645. In de naam strofoïde herkennen we het griekse ‘strofos’, wat ‘gedraaide band’ betekent. De uitgang ‘oïde’ betekent ‘met de vorm van’. Met andere woorden een strofoïde is een figuur met de vorm van een gedraaide band.

Kleuringen

Geplaatst op door

Soms kan het nuttig zijn om een rooster in te  kleuren  en daardoor te bewijzen dat een bepaalde situatie al dan niet mogelijk is. Deze heuristiek wordt dikwijls gebruikt wanneer je een schaakbord moet opvullen met bepaalde vormen.

Voorbeeld: Kan een 10 x 10 schaakbord opgevuld worden met 25 tetrominos van de vorm 

Oplossing:

  • Geef elk vakje van het schaakbord een uniek adres door het rijnummer en kolomnummer van het vakje te noteren. Zo een adres is dan van de vorm (i,j) \text{ waarbij } 1 \leq i,j \leq 10.
  • Kleur (i , j ) met de kleur t = i +j \text{ mod4 } zodat t \in \{1,2,3,4\}. Hierbij is1 = blauw; 2 = geel; 3 = rood; 4 = groen.
  • Elke tetromino zal door de schikking van de kleuren (cijfers) precies 4 vakjes met vier verschillende kleuren bedekken.
  • Aangezien er op het bord 25 keer blauw (1), 26 keer geel (2) 25 keer rood (3) en 24 keer groen (4) voorkomt zal het niet mogelijk zijn om het bord te vullen met 25 tetromino’s

					

		
		
	


				
					
	

		

						
Opgave 5

			
						

				Geplaatst op   door  			

			
					


				

			
Voor welke waarde van m \in \mathbb{N}_0 is x^{3m}+x^{2m}+x^m+1 deelbaar door x^3+x^2+x+1?



				
Antwoord

				


    

  1. Een veelterm A is deelbaar door een veelterm B als alle nulwaarden van B ook nulwaarden zijn van A.
    2. 

  2. Nu is B=x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1), dus de nulwaarden van B zijn :-1,i,-i.
    3. 

  3. Omdat A=x^{3m}+x^{2m}+x^m+1 enkel gehele coëfficiënten heeft kunnen we de stelling van d’Alembert gebruiken die zegt dat als a+bi een nulwaarde is, dan is a-bi dat ook.
    4. 

  4. We moeten dus enkel  eisen dat -1 en i nulwaarden zijn van A.
    5. 

  5. Dan moet (-1)^{3m}+(-1)^{2m}+(-1)^m+1=0 of (-1)^m+1+(-1) ^m+1=2+2(-1) ^m=0. Hieruit volgt dat m oneven moet zijn.
    6. 

  6. Verder moet ook i^{3m}+i^{2m}+i^m+1=0. Dus moet (-i)^m+(-1) ^m+i^m+1=0. Als m=4k dan is A(i) \neq 0. In alle andere gevallen is A(i) wel gelijk aan 0.
    7. 

  7. De twee voorwaarden samen geven dat m gewoon oneven moet zijn.
    8. 

  8. Dus is x^{3m}+x^{2m}+x^m+1 deelbaar door x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1 als m oneven is.
    9.