Maandelijks archief: mei 2017

Ruimtemeetkunde

Geplaatst op door

In het zesde jaar van het MO wordt een cursus gegeven over ruimtemeetkunde. In dit artikel wordt een andere manier van benadering gegeven dan de meeste handboeken. We steunen op de theorie van de vectorruimten. We onderscheiden twee delen:

  1. Definitie van punten, vectoren, rechten en vlakken. We bespreken hun onderlinge ligging en evenwijdigheid en bewijzen een aantal stellingen daarrond. Dit vindt je hier.
  2. Via de definitie van een skalair product kunnen we ook spreken over loodrechte stand, afstanden en hoeken. De bespreking daarvan vindt je hier.

Evenwijdige rechten

Geplaatst op door

Evenwijdige rechten zijn rechten, die in een zelfde vlak liggen en elkaar niet snijden.

Een paar eigenschappen:

  • Twee rechten die beiden loodrecht staan op een derde rechte, zijn evenwijdig.
  • Door een punt buiten een rechte kan juist één evenwijdige rechte aan de eerste getrokken worden.
  • Twee rechten, die evenwijdig lopen met een derde, lopen onderling evenwijdig.
  • Lopen twee rechten evenwijdig, dan staat een loodlijn op de ene ook loodrecht op de andere.

Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte ontstaan er verschillende soorten van hoeken: verwisselende binnenhoeken (zoals \widehat{O_4} en \widehat{U_2}), verwisselende buitenhoeken (zoals \widehat{O_1} en \widehat{U_3}), overeenkomstige hoeken (zoals \widehat{O_3} en \widehat{U_3}), binnenhoeken aan de zelfde kant van de snijlijn (zoals \widehat{O_3} en \widehat{U_2}) en buitenhoeken aan de zelfde kant van de snijlijn (zoals \widehat{O_2} en \widehat{U_3}).

Enkele eigenschappen:

  • Al de verwisselende binnenhoeken  en al de verwisselende buitenhoeken zijn twee aan twee gelijk.
  • Al de binnenhoeken en al de buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn zijn twee aan twee elkaars supplement.
  • De overeenkomstige hoeken zijn gelijk.
  • Twee rechten zijn evenwijdig, als ze een derde rechte onder gelijke verwisselende binnenhoeken snijden.
  • Twee rechten zijn evenwijdig, als ze een derde rechte onder gelijke verwisselende buitenhoeken snijden.
  • Twee rechten zijn evenwijdig, als ze een derde rechte snijden zodat de binnen- of buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn, gelijk zijn.
  • Twee rechten zijn evenwijdig, als ze een derde rechte onder gelijke overeenkomstige hoeken snijden.

Niet-transitieve spelen

Geplaatst op door

In deze tekst onderzoeken we een eenvoudig dobbelspel: twee spelers hebben
een dobbelsteen, gooien deze, en wie het hoogst aantal ogen gooit wint. Er
blijken setjes dobbelstenen te bestaan waarbij geen van de stenen duidelijk
het sterkst is in dit spel. Het zijn namelijk niet-transitieve dobbelstenen.

Wat wil dit zeggen? Wel dobbelsteen B wint van A, dobbelsteen C wint van B … en dobbelsteen A wint van C. Dit doet denken aan het spel schaar-steen-papier, waar elke mogelijkheid sterker én zwakker is dan een andere. In deze tekst onderzoeken we welke strategie het beste is om de winstkans te maximaliseren.

Gregorius a Sancto Vincentio

Geplaatst op door

Grégoire de Saint-Vincent, in het latijn Gregorius a Sancto Vincentio, (8. september 1584 in Brugge; † 27 januari 1667 in Gent) was een Vlaamse wiskundige en Jezuïet. Hij is de ontdekker van het logaritme met grondtal 10 ( alhoewel de ontdekking hiervan soms aan Alphonse Antonio de Saraza werd toebedeeld).

.

Na zijn noviciaat en wiskunde studies in Rome verbleef hij in Antwerpen, Leuven, Rome,Praag en Gent. In 1625 was hij reeds een meetkundige integratiemethode machtig, maar de publicatie van zijn werk Problema Austriacum Plus Ultra Quadratura Circuli is door allerhande tegenslagen uitgebleven tot 1647. Toen was echter  zijn methode achterhaald door een gelijkende methode van Cavalieri. Toch heeft Gregorius’ werk Leibniz sterk beïnvloed bij de streng-wiskundige opbouw van het integraalbegrip.

Zoek een patroon

Geplaatst op door

Soms is het erg nuttig om een verband te zoeken tussen de data in de opgave. Kan je een bepaald patroon terugvinden? Dit kan je op weg helpen om de oplossing te vinden van je probleem.

 

Een voorbeeld: f(x) is een veelterm is van graad 4 waarbij de coëfficiënt van x^4 gelijk is aan 1. Bovendien is f(-1)=-1, f(2)=-4, f(-3)=-9 en f(4)=-16. Bereken f(1)

We weten dat f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d. Uit de 4 gegevens kunnen we, via het oplossen van een stelsel, de 4 onbekenden a,b,c en d vinden. Eigenlijk is dat zelfs niet nodig, want we moeten enkel f(1) berekenen. Maar gelukkig zien we een patroon  opduiken: -1,2,-3 en 4 zijn allemaal nulwaarden van de veelterm g(x)=f(x)+x^2. Omdat f(x) en dus ook g(x) van de vierde graad is, moet g(x)=(x+1)(x-2)(x+3)(x-4). Bijgevolg is f(1)=g(1)-1^2=23.