Maandelijks archief: april 2017

De regel van Simpson

Geplaatst op door

Voor heel wat praktische problemen moet men een bepaalde integraal \int_a^b f(x)\ dx oplossen. De meest wiskundige manier is op zoek gaan naar een primitieve functie F(x) van f(x) en dan is \int_a^b f(x)\ dx=F(b)-F(a). Maar soms is het berekenen van een primitieve functie een zeer lastige of onmogelijke taak. Is het in die gevallen dan onmogelijk om de bepaalde integraal te berekenen?

 

Thomas Simpson heeft een regel neergeschreven om \int_a^b f(x)\ dx te benaderen:

  • Verdeel [a,b] in een even ,n , aantal stukken en stel  h=\frac{b-a}{n}.
  • Bereken de functie waarden f(a),f(a+h),f(a+2h),...,f(a+nh)=f(b).
  • Nu is \int_a^b f(x)\ dx \approx \frac{h}{3}\Big [ f(a)+f(b)+4\Big(f(a+h)+f(a+3h)+\cdots+f(a+(n-1)h\Big)+2\Big(f(a+2h)+f(a+4h)+\cdots+f(a+(n-2)h)\Big)\Big]

Simson bekwam zijn formule door de bepaalde integraal te interpreteren als een oppervlakte en het gebied onder de grafiek van y=f(x) over [a,b] te benaderen door de oppervlakte onder een parabool door de punten (a,f(a)),((m,f(m)) en (b,f(b)).

Voorbeeld: Bereken \int_1^5x\sqrt{x^2+4x}\ dx

Neem n=4, dan us h=1 en kunnen we de bepaalde integraal benaderen door \frac{1}{3}\Big( f(1)+4f(2)+2f(3)+4f(4)+f(5)\Big)\approx 60,498

 

 

Midden Europese wiskunde olympiade

Geplaatst op door

De Midden-Europese Wiskunde Olympiade (MEMO) is een jaarlijkse terugkerende wiskundige wedstrijd die voor het eerst werd gehouden in 2007. Het is de opvolger van de Oostenrijkse-Poolse Wiskunde Competitie  die 29 keer gehouden werd tussen 1978 en 2006 tussen één Oostenrijkse en één Pools team. De eerste MEMO vond plaats  in Eisenstadt in Oostenrijk.

Nu nemen tien landen deel aan de MEMO: Oostenrijk, Kroatië, Tsjechië, Duitsland, Hongarije, Litouwen, Polen, Slowakije, Slovenië en Zwitserland.

Net als bij de Internationale Wiskunde Olympiade (IMO),participeert elk land  met maximaal zes studenten en twee teamleiders. Eén van de belangrijkste doelstellingen van de nieuwe wedstrijd was de mogelijkheid te scheppen voor een groter aantal studenten om  ervaring in internationale wedstrijden op te doen. De teams die deelnemen aan het MEMO zijn typisch disjunct van de IMO teams van hun land. Ook wordt MEMO bedoeld om jongere studenten voor een toekomstige deelname aan de Internationale Wiskunde Olympiade voor te bereiden.

De MEMO bestaan ​​uit een individuele wedstrijd en een team competitie met een duur van vijf uur. De problemen zijn gewoonlijk verdeeld over vier gebieden: algebra, combinatoriek, meetkunde en getaltheorie. In de individuele wedstrijd, lossen de leerlingen een probleem op uit elk gebied. De competitie team bestaat uit acht problemen, twee uit elk gebied (hoewel bij de eerste twee MEMO’s ook het team competitie  slechts vier problemen had ). In de teamcompetitie lossen de studenten van elk team samen de problemen op en dat geeft de competitie een heel bijzondere sfeer. Het team deel van de competitie bestond ook bij de Oostenrijk-Poolse wiskunde competitie, maar  is eerder een zeldzaamheid in het landschap van wiskundige wedstrijden.

De entier-functie

Geplaatst op door

Het grootste gehele getal kleiner dan of gelijk aan het reële getal x heet de entier ( frans voor ‘ geheel’) van x. Notatie: \lfloor x\rfloor. Deze notatie werd voor het eerst gebruikt door C.F.Gauss in 1808. Soms wordt ook de notatie G(x) gebruikt.

Zo is \lfloor 7,43 \rfloor = 7,  \lfloor -\pi \rfloor =-4 en \lfloor 2017 \rfloor =2017.

Een paar eigenschappen:

  • \lfloor x \rfloor = \text{ max } \{ m \in \mathbb{Z} : m \leq x \}.
  • \lfloor x \rfloor = m \Leftrightarrow x-1 < m \leq x \Leftrightarrow m \leq x <m+1.
  • Voor elk natuurlijk getal n geldt : \lfloor x+n \rfloor =\lfloor x \rfloor +n.
  • \lfloor x \rfloor +\lfloor y \rfloor \leq \lfloor x+y \rfloor \leq \lfloor x \rfloor+\lfloor y \rfloor+1.
  • Voor m \in \mathbb{N} en n \in \mathbb{Z} geldt: n= \lfloor \frac{n}{m} \rfloor+\lfloor \frac{n+1}{m} \rfloor+\cdots +\lfloor \frac{n+m-1}{m} \rfloor.
  • Voor m \in \mathbb{N} geldt: \lfloor mx \rfloor=\lfloor x \rfloor+\lfloor x +\frac{1}{m}\rfloor+\cdots+\lfloor x+\frac{m-1}{m} \rfloor.

Soms definieert men ook volgende functies:

  • Het kleinste geheel getal groter dan of gelijk aan x als \lceil x \rceil.
  • Het breukdeel van x als \{x\}=x-\lfloor x \rfloor. Het breukdeel wordt dikwijls bekeken als het deel na de komma, maar dat is slechts correct voor positieve getallen.

N x N is aftelbaar oneindig

Geplaatst op door

Om te bewijzen dat \mathbb{N} \times \mathbb{N} aftelbaar oneindig is, moeten we een bijectie opstellen tussen \mathbb{N} \times \mathbb{N} en \mathbb{N}. We kunnen dit doen via de diagonaalmethode van Cantor :

De volgende tekening spreekt voor zich:

Met volgende formule kan je het rangnummer bepalen van een bepaald punt (x,y):

    \[f(x,y)=\dfrac{1}{2}((x+y)^2+2(x+y)+(-1)^{x-y})\]

Het is wel moeilijker om met één natuurlijk getal z een koppel natuurlijke getallen te laten overeenkomen.

  • De diagonalen bevatten achtereenvolgens 1,2,3,… getallen, zodat de som S_n van de eerste n natuurlijke getallen zal verschijnen op elke diagonaal ( de omcirkelde rangnummers) .
  • Aangezien z gelegen is tussen twee opeenvolgende waarden van S_n, moet n gelijk zijn aan het aantal gehelen n_0 van de positieve wortel van de vierkantsvergelijking n^2+n-2z=0.
  • Als n_0 even is, dan behoort (x,y) tot een dalende diagonaal en is x=z-f(0,n_0)=S_{n_0} en y=n_0-x.
  • Als n_0 oneven is, dan behoort (x,y) tot een stijgende diagonaal en is y=z-f(n_0,0)=S_{n_0} en x=n_0-y.

Neem bijvoorbeeld het getal z met rangnummer 32. De vierkantsvergelijking n^2+n-64=0 heeft bij benadering als oplossingen -8,52 en 7,52. Dus is n_0=7. Het corresponderend punt in het vlak is (3,4).

Neem als tweede voorbeeld het getal z met rangnummer 38. De bijhorende vierkantsvergelijking n^2+n-76=0 heeft bij benadering als oplossingen -9,23 en 8,23 zodat n_0=8. Het corresponderend punt in het vlak is (2,6)

Driehoeken

Geplaatst op door

Bekijken we enkele eigenschappen over zijden en hoeken in een willekeurige driehoek:

  1. De som van de hoeken van een driehoek is 180°
  2. Een buitenhoek van een driehoek is groter dan elke niet aanliggende binnenhoek        (\delta > \alpha en \delta > \beta)
  3. In een driehoek ligt, tegenover een grotere zijde, een grotere hoek en omgekeerd tegenover een grotere hoek ligt een grotere zijde.
  4. Elke zijde van een driehoek is kleiner dan de som van beide andere zijden. Je kan deze eigenschap veralgemenen naar veelhoeken: elke zijde van een veelhoek is kleiner dan de som van de andere zijden.