Maandelijks archief: maart 2017

Afstanden

Geplaatst op door

We kennen allemaal het visueel evidente begrip afstand  als ” de lengte van het deel van de rechte lijn tussen twee punten”, dat  ontleend is aan de klassieke meetkunde. Daarbij bleef de term “rechte lijn” zelf ongedefinieerd of hoogstens werd er gezegd dat het de kortste weg was tussen twee punten, waarmee men in een cirkelredenering terecht kwam.

Bovendien is de afstand langs de rechte lijn niet altijd geschikt voor het oplossen van veel praktische en theoretische problemen.

  1. Een transportfirma is bij het opstellen van een vervoersplan niets gebaat met de kennis van de afstanden in vogelvlucht tussen vertrek en aankomst, daar de vrachtwagens verplicht zijn het bestaande verkeersnet te volgen.
  2. Een schip of vliegtuig is tijdens zijn reis verplicht de kromming van de aarde te volgen, daar het nu eenmaal niet mogelijk is in een rechte lijn door de aardkorst te boren.
  3. Hoe zou je bijvoorbeeld de afstand tussen twee functies ( nodig bij het bestuderen van de convergentie van een rij van functies)  kunnen definiëren?

In de wiskunde is een begrip afstand of metriek gedefinieerd als generalisatie van het gewone afstandsbegrip. Deze generalisatie is zo gekozen dat een aantal kenmerkende eigenschappen van het gewone afstandsbegrip behouden blijven.

Een afstand of metriek in een verzameling V is een afbeelding d  die met twee elementen uit  V een getal laat associëren die de volgende eigenschappen bezit:

  1. De afstand is positief: d(x,y) \geq 0.
  2. x ligt even ver van y als y van x ( symmetrie ): d(x,y)=d(y,x).
  3. Een omweg maken is steeds langer dan de rechtstreekse weg te nemen
    ( driehoeksongelijkheid ): d(x,z) \leq d(x,z)+d(z,y)
  4. Iedere x ligt op een afstand 0 van zichzelf: d(x,x)=0
  5. Het omgekeerde van vorige eigenschap: d(x,y)=0 \leftrightarrow x=y

Een paar voorbeelden in het vlak:

  • De Euclidische afstand of metriek, gegeven door d(x,y)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} komt overeen met ons klassiek begrip afstand.
  • De Manhattan metriek,voor het eerst onderzocht aan het eind van de 19e eeuw door Hermann Minkowski, en wordt gegeven door d(x,y)=|x_2-x_1|+|y_2-y_1|  De naam verwijst naar de roostervormige opzet van de meeste lanen en straten op het eiland Manhattan, zoals vastgelegd in een plan uit 1811. Dit rooster zorgt ervoor dat de kortste route die een voetganger of auto kan nemen om de afstand tussen twee punten in de stad te overbruggen een lengte heeft die gelijk is aan de afstand tussen twee punten in de Manhattan-metriek. In onderstaande tekening zijn de lijnen in rood, geel en blauw  drie voorbeelden van de Manhattan-afstand tussen de twee zwarte, ronde punten. Zij zijn alle drie 12 eenheden lang. De groene lijn stelt de volgens de Euclidische afstand kortste route voor tussen de twee punten.
    Een ander voorbeeld kan je ook vinden in de codetheorie , waar men de Hamming-afstand definieert door het aantal posities te tellen waar de twee binaire codes van elkaar verschillen

 

Stelling van Dirichlet voor rekenkundige rijen

Geplaatst op door

De Stelling van Dirichlet over rekenkundige rijen, ook bekend onder de naam Priemgetallenstelling van Dirichlet (Duits wiskundige, 1805-1859), is een stelling uit de getaltheorie die handelt over het voorkomen van priemgetallen in rekenkundige rijen.

De stelling luidt dat, als a en b onderling ondeelbaar zijn, dus hun grootste gemene deler gelijk is aan 1, de rij

{\displaystyle a,\ a+b,\ a+2b,\ a+3b,\ a+4b,\ \dots }

oneindig veel priemgetallen bevat. 

De stelling is een veralgemening van een bewering door Euler dat elke rekenkundige rij die met 1 begint oneindig veel priemgetallen bevat. De huidige vorm werd geformuleerd door Legendre en in 1837 bewezen door Johann Dirichlet.

De wiskundewereld heeft zich eigenlijk altijd al beziggehouden met het zoeken naar formules van rijen die oneindig veel priemgetallen bevatten.

Invariantieprincipe

Geplaatst op door

De problemen die we nu zullen bestuderen gaan over processen die zich in een aantal toestanden kunnen bevinden. Laten we voor een gegeven probleem die toestanden even t_{begin},t_1,... noemen. De overgang van de ene toestand naar de andere toestand is eenduidig vastgelegd door een aantal spelregels. Uiteindelijk is de vraag of het mogelijk is van toestand t_0 naar een eindtoestand t_{eind} te gaan door de regels te gebruiken. Een strategie om aan te tonen dat dit onmogelijk is, is gebruik te maken van een functie f die gedefinieerd is op de verschillende toestanden van het probleem en die bij de overgang van de ene toestand naar de andere niet van waarde verandert. De functie blijft invariant gedurende het hele proces. Als uiteindelijk blijkt dat f(t_{begin}) \neq f(t_{eind}) kunnen we besluiten dat het onmogelijk is om van de begintoestand naar de eindtoestand te komen door gebruik te maken van de spelregels.

Een voorbeeld:

Een draak heeft 100 hoofden. Een ridder kan er 15,17,20 of 5 afhakken. maar als hij dat doet, dan groeien er onmiddellijk 24,2,14 of 17 nieuwe hoofden bij. Als alle hoofden er af zijn dan is de draad dood. Kan de ridder de draak doden?

Spoiler

Definieer de functie f die het aantal hoofden berekent modulo 3. Dan is f(t_{begin})=1. Als de ridder 15 hoofden afhakt, dan komen er 24 bij, dus -15+24=+9. De andere gevallen geven ons: -17+2=-15, -20+14=-6 en -5+17=+12. Het aantal hoofden dat verdwijnt of er bij komt is steeds een veelvoud van 3, dus verandert het aantal hoofden, modulo 3 niet. Met andere woorden f is invariant. Hieruit volgt dat f(t_{eind})=1 Maar als de draak dood is, zijn alle hoofden er af en zou f(t_{eind})=0. De draak kan dus niet verslagen worden.

 

Oostenrijkse wiskunde olympiade

Geplaatst op door

De Österreichische Matematik Olympiade, afgekort  Ömo , is de Oostenrijkse Wiskunde Olympiade. Ze werd opgericht in 1968, toen Oostenrijk voor het eerst werd uitgenodigd voor de Internationale Wiskunde Olympiade (IMO). Het primaire doel is om het Oostenrijkse team voor de IMO selecteren en hen voorbereiden op deze wedstrijd. Individuele leerkrachten houden voorbereidende cursussen op scholen en er is ook een twee weken durende landelijke voorbereidingscursus met daaropvolgend een competitie voor potentiële IMO (en MEMO) gegadigden.

Wiskundig getalenteerde middelbare scholieren die willen deelnemen aan de Ömo doorlopen dus eerst een voorbereidende cursus op school.  Studenten starten in een “beginners niveau” cursus in de 8e of 9e klas (14-15 jaar) en gaan later over tot de “gevorderde niveau”. Aan het einde van maart voor gevorderden en april voor beginners is er een Kurswettbewerb, een wedstrijd binnen de cursus om te bepalen wie kan doorgaan naar een regionale competitie. Studenten die niet kunnen gaan naar een voorbereidingscursus (vooral in landelijke gebieden zijn er vaak geen beschikbaar) kunnen deelnemen aan een speciale kwalificatie wedstrijd.

Voor beginners zijn er negen Landeswettbewerbe, een competitie voor elke provincie, die meestal in juni worden gehouden. Er is geen nationale wedstrijd op dit niveau. Op het geavanceerde niveau zijn er drie regionale wedstrijden, genaamd Gebietswettbewerbe (GWB):

De beste studenten van elk van de regionale wedstrijden (ongeveer 40 in totaal) kunnen dan deelnemen aan het voorbereiding kamp in Raach am Hochgebirge (Neder-Oostenrijk), dat wordt gehouden in de tweede helft van mei. Ze krijgen een meer geavanceerde training en een hoop problemen om op te lossen. Na deze week is er weer een wedstrijd,de zogenaamde Zwischenwettbewerb (intermediair competitie) of Bundeswettbewerb Teil 1. De betere helft van de deelnemers krijgen nog een opleiding van een week, die wordt besloten met een laatste, twee dagen durende, competitie: de Bundeswettbewerb. De zes beste studenten van deze laatste wedstrijd zullen Oostenrijk vertegenwoordigen op de IMO.

Meer info vind je op de website van de Oostenrijkse Wiskunde Olympiade.