Maandelijks archief: augustus 2016

Fermatgetallen

Geplaatst op door

In 1729 schreef Christian Goldbach aan Euler: Kent u de opmerking in het werk van Fermat dat alle getallen F_n=2^{2^n}+1 priemgetallen zijn? Hij schrijft dat hij het niet kan bewijzen, en voor zover ik weet heeft ook niemand anders een bewijs kunnen vinden.

Fermat had al opgemerkt dat de getallen F_n priemgetallen zijn voor n=0,1,2,3,4: F_0=3,F_1=5, F_2=17, F_3=257, F_4=65537, vandaar zijn vermoeden. Maar F_5=4294967297 ging zijn krachten te boven. De getallen F_n=2^{2^n}+1 noemt men Fermatgetallen.  Euler liet zich echter niet afschrikken en hij kwam tot het verrassende resultaat dat F_5 geen priemgetal is omdat het deelbaar is door 641. Het vermoeden van Fermat bleek dus niet waar te zijn – een van de zeldzame keren dat Fermat een vermoeden uitsprak dat onjuist is gebleken.

fer

Waar komt trouwens de vreemde vorm  2^{2^n}+1 vandaan?
Waarom niet gewoon 2^m+1? Wel, het is eenvoudig te bewijzen dat 2^m+1 alleen maar een priemgetal kan zijn als m van de vorm m=2^n is. Dit komt omdat, als q oneven is en groter dan 1, dan is a^q+1=(a+1)(a^{q-1}-a^{q-2}+\cdots -a+1). Op die manier kan men bewijzen dat m geen oneven deler kan hebben.

Hoe zit het met F_6=18446744073709551617? Daar lijkt zonder computer geen beginnen aan. Toch lukte het Landry en Le Lasseur in 1880 een volledige ontbinding te vinden. Ook van F_7, een getal van 39 cijfers, F_8 (78 cijfers), F_9 (155 cijfers) en F_{11} ( 617 cijfers) zijn inmiddels volledige ontbindingen gevonden. Geen van alle zijn het dus priemgetallen. Ook F_{10} is geen priemgetal, maar daarvan is alleen maar bekend dat het deelbaar is door 455925777 en 6487031809. Van de resterende factor kennen we de ontbinding niet.

Van nog veel meer Fermatgetallen is bewezen dat ze geen priemgetallen zijn. In feite is er nog steeds geen enkele grotere priem dan F_4 bekend. Bestaat er dus wel een zesde Fermat priemgetal? Het kleinste Fermat getal waarvan we niet weten of het priem is, is F_{22}, een getal van 1262612 cijfers. Verder onderzoek ligt nog open…

 

 

Benelux Mathematical Olympiad

Geplaatst op door

bxmo1

De Benelux Wiskunde Olympiade (BxMO) is een wiskundige wedstrijd voor middelbare scholieren uit België, Luxemburg en Nederland. De wedstrijd is individueel en bestaat uit vier problemen, meestal op eenvoudige IMO-niveau of iets lager. De deelnemers krijgen hiervoor 4,5 uur de tijd. Een officiële delegatie uit elk land bestaat uit tien studenten en drie leiders. De helft van de deelnemers worden beloond met een bronzen, zilveren of gouden medaille, in de verhouding 3: 2: 1.

Tijdens de IMO in 2008  spraken Charles Leytem uit Luxemburg en Quintijn Puite en Birgit van Dalen van Nederland over het samen doen van wat trainingsactiviteit. Tegelijkertijd onderzochten ze de mogelijkheid van toetreding tot een extra internationale wedstrijd, zoals de Balkan Olympiade, zodat jongere studenten de kans zouden krijgen  om deel te nemen aan een internationale wedstrijd . En zo werd het idee van de Benelux Wiskunde Olympiade geboren in augustus 2008.

De eerste BxMO werd gehouden in Bergen op Zoom in Nederland in mei 2009.  Nederland organiseerde ook de tweede BxMO, omdat ze  enige ervaring  wilden op doen voor de organisatie van de  IMO 2011 in Amsterdam . Om die reden ook werden drie extra landen uitgenodigd voor deze editie: Slovenië, Spanje en Zwitserland. De derde BxMO vond plaats in Luxemburg, de vierde in België, en vanaf dat moment was het een jaarlijkse traditie.

 

Op de website van BxMO vind je vragen en oplossingen van alle edities

Gehelen van Gauss

Geplaatst op door

Gehelen van Gauss zijn complexe getallen a+bi waarbij a en b gehelen getallen zijn. Je kan ze optellen en vermenigvuldigen. Zo vormen ze een interessante structuur : een commutatieve ring met eenheidselement. In deze tekst worden de basisbegrippen van de ringtheorie, aan de hand van de ring van de gehelen van Gauss, besproken. Zo bespreken we de eenheden, de priem elementen en de idealen van deze ring. Geen bewijzen , maar alle interessante begrippen komen aan bod. De lezer kan ze nadien zelf uitwerken. In onderstaande afbeelding vind je bijvoorbeeld alle priem elementen in het vlak van Gauss.

priem

Elementaire symmetrische functies

Geplaatst op door

Kunnen we elke symmetrische uitdrukking van de n oplossingen van een n de graads veeltermvergelijking uitdrukken in functie van de coëfficiënten van de gegeven vergelijking? Voor een tweedegraads vergelijking lukt dat . Maar hoe zit dat met een hogere graad. Lees hiervoor volgend artikel.

Hiermee komen we terecht in het werk van E. Galois , de grondlegger van de groepentheorie.
galo