Maandelijks archief: februari 2016

714 en 715

Geplaatst op door

Op 8 april 1974 verbeterde H. Aaron  het record van grootste aantal home runs tijdens 1 seizoen, dat op naam stond van de legendarische Babe Ruth, met 1 eenheid en bracht het op 715. Sindsdien noemt men (714,715) het Ruth-Aaron paar.

Maar wat is er dan zo speciaal aan dit paar?

  1. Als het het product berekenen dan vinden we dat 714.715=510510=2.3.5.7.11.13.17
    We zien dus dat dit het product is van de eerste 7 priemgetallen, genoteerd door P(7). We weten dat 1.2=P(1), 2.3=P(2), 5.6=2.3.5=P(3) en 14.15=210=2.3.5.7=P(4).  Na wat experimenteren vermoeden we dat het Ruth-Aaron paar grootste paar opeenvolgend getallen is waarvan het product ook het product is van de eerste k priemgetallen. Het bewijs hiervoor is echter nog niet gevonden… Door gebruik te maken van een computer heeft men wel nagegaan dat de enige waarden  voor k gelegen tussen 0 en 3050 waarvoor P(k) te schrijven is als een product van twee opeenvolgende getallen k=1,2,3,4,7 zijn.
  2. Elk getal kan op een unieke manier geschreven worden als het product van priemgetallen. Voor een getal x noteert men S(x) als som van de priemgetallen uit de ontbinding van x, rekening houdend met herhaalde priemgetallen. Enkele voorbeelden: 6=2.3, dus is S(6)=2+3=5. Verder is 24=2.2.2.3 en dus is S(24)=2+2+2+3=9. We definiëren nu een Ruth-Aaron paar als een paar van twee opeenvolgende getallen die dezelfde som van hun priemfactoren hebben. Hiermee veralgemenen we eigenlijk het begrip Ruth-Aaron paar. De eerste Ruth-Aaron paren zijn (5,6), (8,9), (15,16), (77,78), (125,126), (714,715). Ons oorspronkelijk Ruth-Aaron paar zit er dus ook bij. Dergelijke paren lijken eerder zeldzaam, maar men kan toch bewijzen dat er toch oneindig veel  zijn.

Driehoekswortels

Geplaatst op door

We kennen allemaal de vierkantsgetallen en de driehoeksgetallen:

drie

 

Het  n-de vierkantsgetal wordt gegeven door de formule: V_n=n^2.

Het n-de driehoeksgetal wordt gegeven door D_n=1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}.

Naar analogie met de vierkantswortel van een getal benoemen we de positieve driehoekswortel van x als het getal n waarvoor D_n=x.

Dan is x=\dfrac{n(n+1)}{2} \Leftrightarrow n^2+n-2x=0 \Leftrightarrow n=\dfrac{\sqrt{8x+1}-1}{2}.
Wil de driehoekswortel bestaan dan moet uiteraard 8x+1 \geq 0.
Een geheel getal is is dus een driehoeksgetal als 8x+1 een kwadraat is.

De driehoekswortel van 3 is 2, want 3 is het 2-de driehoeksgetal.
De driehoekswortel van 6 is 3, want 6 is het 3-de driehoeksgetal.
De driehoekswortel van 5 is \dfrac{\sqrt{41}-1}{2} \approx 2,70156. We zien dat 5 tussen het 2-de en 3-de driehoeksgetal ligt.

Veeltermen die priemgetallen uitspuwen

Geplaatst op door

Neem de veelterm 2x^2+29, en bereken de getalwaarde voor alle natuurlijke getallen tot en met 28. Je krijgt de volgende rij van getallen : 29,31,37,47,…,1597. Dit zijn allemaal priemgetallen. Vullen we 29 in dan krijgen we natuurlijk een getal dat deelbaar is door 29 en dus niet priem is.

De veelterm x^2+x+17, ingevuld voor alle natuurlijke getallen tot en met 15, geeft ook allemaal priemgetallen. De bekendste veelterm is zeker deze van Euler: x^2-x+41 die voor alle natuurlijke getallen tot en met 40 priemgetallen geeft. Nog beter doet de veelterm x^2-79x+1601 die voor alle natuurlijke getallen tot en met 79 priemgetallen uitspuwt.

 

euler

Het is wel duidelijk dat er geen niet-constante veelterm bestaat die alle priemgetallen voortbrengt. Dit kan je zelfs bewijzen:
Stel dat A(x) een niet-constante veelterm is die voor elk natuurlijk getal een priemgetal voortbrengt. Neem a \in \mathbb{N} dan is A(a)=p met p een priemgetal. Maar dan is A(a+p)\equiv 0 \text{ mod } p en omdat ook A(a+p) een priemgetal moet zijn is A(a+p)=p. We kunnen dit herhalen voor de natuurlijke getallen a+kp en vinden dat \forall k \in \mathbb{N}: A(a+kp)=p. Bijgevolg heeft de veelterm A(x)-p oneindig veel nulwaarden en is die veelterm dus constant, wat tegen het gegeven is. Er bestaat dus geen niet-constante veelterm die alleen maar priemgetallen voortbrengt.

Hypathia van Alexandrië

Geplaatst op door

hypatia

Hypatia is de bekendste vrouwelijke wiskundige uit de Griekse oudheid. Zij werd in het midden van de vierde eeuw na Christus geboren in Alexandrië. Al in de derde eeuw voor Christus was Alexandrië een centrum van wetenschap, toen de beroemde wiskundige Euclides er werkte. Het peil van de wiskunde was in de tijd van Hypatia wel gedaald, maar er waren nog wel goede bibliotheken.

Hypathia was een bekend vertegenwoordigster van de Platoonse filosofie, en wegens deze ‘misdaad’ werd zij in 415 door een Christelijke menigte aangevallen, in stukken gehakt en verbrand.

Van Hypatia zelf zijn geen geschriften bekend, maar wel weten we dat ze les gaf uit verschillende handboeken en die ook verbeterde. die handboeken waren de Elementen van Euclides, de werken van Archimedes, de kegelsneden van Apollonius en de Arithmetica van Diophantus. Buiten wiskunde doceerde Hypatia ook de filosofie van Plato: De menselijke ziel is onsterfelijk, en verkeerde voor de geboorte in de wereld van de ideeën; daarom is wiskunde leren alleen het je herinneren van iets dat je eigenlijk al weet van voor je geboorte. De taak van de wiskunde leraar of-lerares is om dit herinneringsproces te begeleiden, en Hypatia had daarin blijkbaar veel succes.

Bekend is ook de film Agora van regisseur Alejandro Amenábar met Rachel Weisz in de rol van Hypathia.

hypatia2

Op welke dag viel 1 januari 2000

Geplaatst op door

Kan je bij een gegeven datum de juiste dag bepalen?

Sedert 15 oktober 1582 maken wij gebruik van de Gregoriaans kalender.  De formule die we zullen geven werkt dus enkel voor gebeurtenissen vanaf die datum tot 31 december 2399, wanneer de kalender weer een aanpassing nodig heeft.

In de formule stel d de datumdag voor en m het maandnummer. Voor het bepalen van het maandnummer maken we wel gebruik van de oude Juliaanse kalender die aan maar het nummer 1 gaf, april het nummer 2, enz. Het jaartal wordt opgesplitst in a: de eerste twee cijfers van het jaartal en b de laatste twee cijfers van het jaartal. Het resultaat is D de gevraagde dag, waarbij 0 staat voor de zondag, 1 voor de maandag,…

D\equiv d+\lfloor 2,6m-0,2\rfloor+\lfloor 0,25a\rfloor -2a+\lfloor0,25b\rfloor+b mod 7

Hierbij staat \lfloor x \rfloor voor het grootste geheel getal kleiner of gelijk aan x.

Welke dag was 1 januari 2000?

Omdat , volgens de Juliaanse kalender het jaar 2000 start op 1 maart, moeten we hier het jaartal 1999 nemen. Dus d=1,m=11,a=19,b=99, Dus D \equiv 1+\lfloor 2,4\rfloor+ \lfloor 4,75 \rfloor-38 +\lfloor 24,75 \rfloor +99 \equiv 118 \equiv 6 mod 7 . Bijgevolg viel 1 januari 2000 op een zaterdag.

jan