Maandelijks archief: september 2015

De wet van Bedford

Geplaatst op door

Neem een willekeurig getal uit een grote verzameling  natuurlijke getallen, verschillend van 0. Hoe groot is de kans dat het begincijfer een 1 is ? Of een 2? Uiteraard verwachten we dat elk cijfer evenveel kans heeft om als begincijfer op te treden.

Neem de proef op de som en neem als voorbeeld  de verzameling beurskoersen op de beurspagina van de krant van vandaag. Natuurlijk zullen sommige van die getallen beginnen met een 1, maar aanzienlijk minder dan de getallen die met een 1 beginnen. Het begincijfer 3 is nog zeldzamer en uiteindelijk vormen de getallen die beginnen met een 9 een kleine minderheid.

newcomb

Al in 1881 observeerde Simon Newcomb dit fenomeen. Deze wiskundige astronoom ontleende een veelgebruikt boekje met logaritmetafels uit de bibliotheek en hij vond dat vooral de pagina’s met getallen met begincijfer 1 er verfrommeld uitzagen. Hij publiceerde zelfs een artikel waarin hij de volgende formule voorstelde om de kans P(n) te berekenen op begincijfer n:

    \[P(n) = \log ( 1+\dfrac{1}{n})\]

Als je deze formule gebruikt dan vindt je ongeveer 30% kans hebt dat het begincijfer een 1 is. In een diagram :

220px-Rozklad_benforda.svg

 

In 1938 kwam de natuurkundige Frank Bedford tot dezelfde bevinding onafhankelijk van Newcomb. Het verschil was dat hij zich baseerde op meer dan twintigduizend getallen, willekeurig geplukt uit kranten en edities van Readers Digest. Sinds zijn publicatie refereert iedereen naar bovenstaande formule als de formule van Bedford.

bedford

Maar een wet die niet bewezen wordt; neemt een folkloristische plaats in naast wetten zoals de wet van Murphy. Gelukkig heeft de kanstheoreticus Ted Hill in 1996 een formeel wiskundig bewijs gevonden voor de wet van Bedford. De cruciale voorwaarde in zijn bewijs is dat de getallen willekeurig uit verschillende kansverdelingen gekozen worden, met dus een variërend bereik

Problemen?

Geplaatst op door

Terwijl de meeste mensen problemen liever uit de weg gaan, worden wiskundigen er juist onweerstaanbaar door aangetrokken.

Lijsten met problemen zijn geen nieuw verschijnsel inde wiskunde. In de Griekse oudheid had men de drie klassieke problemen over constructies met passer en liniaal ( de verdubbeling van de kubus, de kwadratuur van de cirkel en de driedeling van een hoek).

kwadratuur

Befaamd zijn ook de 23  problemen die David Hilbert zijn gehoor voorlegde  in 1900 op het tweede internationaal Wiskunde Congres in Parijs : de millennium problemen. Nu, ruim een eeuw later, zijn de meeste van de 23 problemen van Hilbert opgelost.

hilbert

Zo een lijst met problemen kan je bekijken als een uitbreidingsplan voor het bouwwerk van de wiskunde. Hilberts lijst was een bouwplan voor een hele eeuw, op wereldschaal.

Op kleinere schaal bestaan er ook veel lijsten met problemen. We kunnen die beschouwen als een uitbreidingsplan van onze eigen wiskunde kennis. De ervaring die we opdoen bij het behandelen van die problemen verruimt onze wiskunde ervaring. In dit deel van deze blog willen we technieken en voorbeelden aanreiken om een betere probleemoplosser te worden.