Betegelingen van het vlak

Geplaatst op door

De kunst van het betegelen is waarschijnlijk al zo oud als de beschaving zelf. Moorse gebouwen, zoals het Alhambra zijn overvloedig versierd met kleurrijke tegels in alle mogelijke vormen.

De wetenschappelijke benadering van betegelingen is echter nauwelijks 100 jaar oud. Op 1 uitzondering na, want reeds in 1619 schreef Johann Kepler (1571-1630) over dit onderwerp.

In zijn werk: Harmonice Mundi, komen betegelingen uitgebreid aan bod, zoals blijkt uit volgende afbeeldingen uit zijn boek.

Het werk maakt op veel plaatsen de indruk een religieus traktaat te zijn. Kepler uitgangspositie is religieus, metafysisch, maar zijn grote kracht is dat hij minutieus al zijn bespiegelingen controleert en zich door de feiten laat overtuigen. Volgens het idee van Kepler is de kosmos door God harmonisch geschapen en heeft de mens voor deze harmonie een ingeschapen gevoel. De harmonie zit in de getalsmatige verhoudingen. Het is een harmonie van getallen. 

Vlinderstelling

Geplaatst op door

 

 


Neem een willekeurige koorde PQ met midden M. Trek door M twee willekeurige koorden AB en CD. Verbind A met D en C met B. AD en BC snijden de oorspronkelijke koorde PQ respectievelijk in X en Y. De vlinderstelling zegt nu dat M ook het midden is van XY. 

Dit probleem werd het eerst gesteld door William Wallace (Schots wiskundige 1768-1843)  in The Gentleman’s Mathematical Companion (1803). In 1804 werden er drie oplossingen ingezonden. 

Waarom vlinderstelling of butterfly theorema?

Opgave 41

Geplaatst op door

Veronderstel dat n een oneven getal en schrijf dan op een blad papier alle  natuurlijke getallen 1,2,3,…., 2n. Dan laat je er twee willekeurige getallen hieruit kiezen  en schrap ze en schrijf erbij het verschil van het grootste men het kleinste van die twee getallen. Toon aan dat, bij herhaling, het laatste overblijvende getal zeker oneven is.

Antwoord

  • Noteer met S de som van alle opgeschreven getallen. Dan is S=1+2+…+2n of

        \[S=n(2n+1)\]

  • Dus S is oneven omdat n oneven is en 2n+1 ook.
  • Neem nu twee willekeurig neergeschreven getallen a en b  en stel a>b , dan wordt de nieuwe som S'=S-a-b+a-b=S-2b. Omdat je een even getal aftrekt van een oneven S, zal de nieuwe som S’ ook oneven zijn. Voor het geval dat a<b is dit analoog.
  • De pariteit van de som van alle nog beschikbare getallen is dus een invariante. Met andere woorden, telkenmale we twee getallen schrappen en vervangen door het verschil blijft de som oneven.
  • Dus het laatst overgebleven getal is oneven.

Nog 5 haiku’s

Geplaatst op door

Nu het verbeteren achter de rug is , de laatste haiku’s van het jaar , in volgorde  gemaakt door Toon Wielemans, Victor Peuters, Iben Eembeeck, Tristan Boschman en Mateja Marcos/

breuk van sin op cos

tussen nul en oneindig

gelijk aan rico

 

algebra fluistert

onbekende letter staat

de oplossing wacht

snijdende rechten

komen samen in één punt

dan gewoon verder

getal na getal

verschillen en producten

oplossing verschijnt

even spiegelt mooi

oneven doet dat door nul

symmetrie doet mee