Nootje 52

Geplaatst op door

Een bol is ingeschreven in een afgeknotte kegel en het volume van de bol is de helft van het volume van de afgeknotte kegel. Bereken de verhouding van de stralen van boven en ondervlak van die afgeknotte kegel.

Antwoord

  • We zoeken de verhouding \frac{b}{a}.
  • De blauwe lijnstukken zijn gelijk als ook de rode omdat raaklijnen uit een punt buiten de cirkel evenlaag zijn.
  • De groene driehoek is rechthoekig omdat de rechthoekzijde de bissectrices zijn van twee supplementaire hoeken. Dus is ab=r^2.
  • Volume bol is \frac{4}{3}\pi r^3 en het volume van de afgeknotte kegel = \frac{1}{3}h\pi(a^2+ab+b^2).
  • Omdat de hoogte van de afgeknotte gele gelijk is aan 2r en omdat het volume van de bol de helft is van die van de afgeknotte kegel is

        \[\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{1}{2}\frac{1}{3}2r\pi (a^2+ab+b^2)\]

    .
  • Hieruit volgt: 4r^2=a^2+ab+b^2; Maar r^2=ab, dus is a^2-3ab+b^2=0.
  • Stel de verhouding \frac{b}{a}=x, dan is x^2-3x+1=0.
  • Het oplossen van deze vierkantsvergelijking geeft x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}.
  • Omdat b>a vinden we uiteindelijk dat

        \[x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\]

Nederlands-Brazilië

Geplaatst op door

Nederlands-Brazilie of Nova Holanda was van 1630 tot 1654 een Nederlands kolonie in Zuid-Amerika. Brazilië was al gekoloniseerd door de  Portugezen. Na succes van de kaperschepen van de West-Indische Kompanie in 1627 en 1628, waaronder de overwinning van Piet Hein op de Spaanse zilvervloot, had de West-Indische Companie genoeg geld om ook in Brazilië koloniaal gebied van de Portugezen te veroveren.

Door het bezit van vele plantages werden de Nederlanders verleid het systeem van slavernij en slavenhandel, dat men in 1623 nog als onethisch had afgewezen, in 1635 volledig over te nemen. In 1637 werd Johan Maurits van Nassau–Siegen naar de kolonie gestuurd om zowel bestuurlijk als financieel orde op zaken te stellen.

Hij stichtte Mauritsstad op het eiland Antonio Vaz tegenover de bestaande Portugese nederzetting Recife, voerde godsdienstvrijheid in om de Portugezen het belijden van hun geloof mogelijk te maken, hervormde de rechtspraak en stelde in alle gebieden een schout en schepenen aan. Hij stimuleerde de suikerrietproductie door de suikerfabrieken die de est-Indische Companie in beslag genomen had per opbod te verkopen en de kopers leningen te verstrekken. Mede door de godsdienstvrijheid kozen grote aantallen Amsterdamse Joden ervoor om naar de kolonie te emigreren. 

In 1654 werden de Nederlanders verdreven door de Portugezen, die het gebied weer bij hun kolonie voegden.

 

Nootje 51

Geplaatst op door

20 leerlingen van een zelfde klas versturen  in december elk 10 wenskaarten naar 10 verschillende klasgenoten. Toon aan dat er minstens twee leerlingen zijn die een kaart naar elkaar sturen.

“Antwoord“

  • Dit doet me denken aan het duivenhokprincipe of principe van Dirichlet:  Wanneer n + 1 duiven in n hokken neerstrijken, dan is er altijd minstens 1 hok met minstens twee duiven.
  • De hokken zijn de koppels leerlingen: hiervoor moet je het aantal 2-combinnatir nemen van 20 elementen en dat is \binom{20}{2}=190.
  • De duiven zijn de brieven: zo zijn er 20*10=200
  • Bijgevolg heeft minstens 1 koppel twee brieven en zijn er dus zeker twee leerlingen die aan elkaar geschreven hebben.

Kettingwortels

Geplaatst op door

Een uitdrukking zoals

    \[x=\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+...}}}}\]

wordt een oneindige kettingwortel genoemd.

Als we beide leden kwadrateren komt er: 

    \[x^2=a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+...}}}}\]

of nóg x^2=a+x. De positieve oplossing van deze vierkantsvergelijking is x=\frac{1}{2}(1+\sqrt{1+4a}). 

Stel hierin bijvoorbeeld a=1, dan bekomen we:

    \[\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}}\]

In het bijzonder ontstaat er een natuurlijk getal indien 1+4a een volkomen kwadraat is. Een paar voorbeelden: 

2=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}

3=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}}

4=\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+...}}}}