Oekrainse Wiskunde Olympiade

Geplaatst op 18 september 2018 door admin

De eerst wiskunde olympiade werd gehouden in 1951, toen Ukraine nog deel uitmaakte van de Sovjet-Unie. Nu wordt de finale gehouden in de vroege lente voor studenten van de 8 ste graad (13-14 jaar) tot de 11de graad (16-17 jaar). De competitie duurt twee dagen en de 8ste graads studenten krijgen 6 vragen, al de anderen krijgen 8 vragen. Voorbeeld vragen vind je op de website van AOPS of Imo compendium

Opgave 23

Geplaatst op 24 augustus 2018 door admin

Hoeveel kwadraten komen er voor in de eerste duizend termen van de rij $x_n=9n+7$ ?

Antwoord

$n=1$ en $n=2$ leveren onmiddellijk kwadraten op, maar daarna duurt het precies wel even voor je terug een kwadraat krijgt. Zijn er nog wel?
De getallen $x_n$ moeten tot de restklasse 7 modulo 9 behoren en een kwadraat zijn. Opdat $x_n=m ^2$ is het nodig en voldoende dat $m^2 \equiv 7 \text{ mod } 9$ .
Het is niet moeilijk de verchillende restklassen mod 9 op te schrijven voor $m^2$ :
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} m^2&0^2&1^2&2^2&3^2&4^2&5^2&6^2&7^2&8^2\\ \hline \text{ mod }9&0&1&4&0&7&7&0&4&1 \end{array}$
Dus moet $m \equiv 4 \text{ mod }9$ of $m \equiv 5 \text{ mod }9$ .
In het eerste geval is $9n+7=(9t+4)^2$ of $n=9t^2+8t+1$ . Als $n \leq 1000$ , dan moet $0\leq t\leq 10$ . Dit levert ons al 11 oplossingen.
In het tweede geval moet $9n+7=(9t+5)^2$ of $n=9t^2+10t+2$ . Als $n \leq 1000$ , dan moet $0\leq t\leq 9$ . Dit geeft ons al 10 oplossingen.
In totaal heb je dus 21 termen in de rij die een volkomen kwadraat zijn.

Waar komt de naam ‘wiskunde’ vandaan?

Geplaatst op 8 juli 2018 door admin

Het Nederlands woord wiskunde stamt uit de 17 de eeuw en komt van Simon Stevin (1548-1620) die het woord wisconst gebruikte. Het ‘wis’ in het woord betekent zeker weten ( kijk naar de uitdrukking: wis en waarachtig ). Wiskunde is dus de kunde of vaardigheid van het zeker weten en dit doen we door elke uitspraak te bewijzen.

In de meeste andere talen wordt bijna steeds hetzelfde woord voor wiskunde gebruikt: mathematics, mathematica, mathematique, Mathematic,… allemaal afgeleid van het Griekse woord ‘mathein’ dat ‘leren’ betekent.

Aristoteles had het menselijk kunnen verdeeld in 2 delen: mechanische of handwerkkunsten (de latere ambachten), en de vrije kunsten de latere wetenschappen). Kunste in deze context betekende : kunde, vaardigheid. Tot de eerste groep behoorde alles wat met vaardigheden te maken had, of het nu het werk van de timmerman betrof of dat van de kunstschilder. De vrije kunsten daarentegen waren die vakken waarvoor men hersenwerk nodig had. Ze werden de ‘vrije kunsten’ genoemd omdat zij enkel konden worden uitgeoefend door hen die vrij waren gesteld van lichamelijke arbeid en materiële zorgen. De 7 vrije kunsten waren 7 vakken die deel uitmaakten van het studieprogramma in de antieke en de Middeleeuwse universiteiten.

De 7 vrije kunsten werden dan weer onderverdeeld in enerzijds het trivium , de taalvakken: retorica, grammatica en dialectica. Ze zijn te begrijpen zonder verdere studie ( vandaar het woord ’triviaal’ ). Anderzijds was er ook het quadrivium , met de rekenvakken arithmetica (rekenkunde), geometria (meetkunde), musica (harmonieleer) en astronomia (kosmologie), die moeten geleerd worden.

We zien hier ook twee fundamentele aspecten van de wiskunde opduiken: getal – ruimte

rekenkunde en harmonieleer representeren het getal, de hoeveelheid.
meetkunde en kosmologie vertegenwoordigen de vorm, de hoedanigheid.

Opgave 20

Geplaatst op 20 juni 2018 door admin

AB is een koorde en P een willekeurig punt van een gegeven cirkel. Q is de loodrechte projectie van P op AB en R en S zijn de loodrechte projecties van P op de raaklijnen aan de cirkel in A en B. Bewijs dat PQ het meetkundig gemiddelde is van PR en PS.

Antwoord

Maken we eerst een tekening:
We proberen aan te tonen dat de driehoeken PRQ en PQS gelijkvormig zijn, want dan is $\dfrac{PR}{PQ}=\dfrac{PQ}{PS}$ en hieruit volgt het gestelde.
De vierhoeken PRAQ en PQSB zijn koordenvierhoeken omdat twee overstaande hoeken recht zijn.
In de eerste koordenvierhoek is $\widehat{PRQ}=\widehat{PAQ}$ omdat in een koordenvierhoek de hoek tussen een zijde en de diagonaal gelijk is aan de hoek gevormd door de overstaande zijde en de andere diagonaal. Daarom is ook $\widehat{PQS}=\widehat{PBS}$ .
Maar de hoeken $\widehat{PAQ}$ en $\widehat{PBS}$ zijn gelijk als hoeken op eenzelfde boog in de gegeven cirkel. Bijgevolg is $\widehat{PRQ}=\widehat{PQS}$ .
Via een analoge redenering is ook $\widehat{PQR}=\widehat{PSQ}$ en dus zijn de driehoeken PRQ en PQS gelijkvormig, zoals gevraagd.

Opgave 19

Geplaatst op 14 juni 2018 door admin

Controleer voor elk natuurlijk getal vanaf 7 of ${n} \choose {7}$ deelbaar is door 12 en bereken de fractie van dergelijke getallen. Zoek de limiet van die fractie als je steeds meer getallen controleert.

Antwoord

We weten dat ${n} \choose {7}$ = $\dfrac{n!}{7!(n-7)!}=\dfrac{n(n-1)\cdots(n-6)}{2^4.3^2.5.7}$
Om deelbaar te zijn door 12 moet de teller deelbaar zijn door ${2^6.3^3.5.7}$ . Omdat de teller betsaat uit zeven opeenvolgende getallen is die zeker al deelbaar door 7 en 5.
Bekijken we nu de factoren 3. De teller is zeker deelbaar door 9, want zeven opeenvolgende getallen bevatten zeker twee veelvouden van 3.
Als $n \equiv 0,1,2,3,4,5 \text{ of } 6 \text{ mod } 9$ , dan is zeker één van de zeven getallen uit de teller deelbaar door 9 en een ander door 3, zodat de teller deelbaar is door $3^3$ .
Nu de factoren 2: Als n even is dan zijn $n,n-2,n-4$ en $n-6$ allemaal deelbaar door 2 en juist twee getallen zijn een viervoud, zodat de teller dan deelbaar is door $2^6$ .
Als n oneven is dan zijn $n-1,n-3$ en $n-5$ deelbaar door 2. Als $n-3$ het enige getal is dat deelbaar is door 4, dan moet het zelfs deelbaar zijn door 16 anders kan de teller niet deelbaar zijn door $2^6$ . Dus moet $n \equiv 3 \text{ mod } 16$ . Als $n-1$ en $n-5$ beiden deelbaar zijn door 4, dan moet opdat de teller deelbaar zou zijn door $2^6$ , een van die getallen deelbaar zijn door 8. Dus moet $n \equiv 1,5 \text{ mod } 8$ of $n \equiv 1,5,9,13 \text{ mod } 16$ .
Brengen we nu alle informatie samen: ${n} \choose {7}$ is deelbaar door 12 als en slechts als
$\begin{cases} n \equiv 0,1,2,3,4,5,6 \text{ mod } 9 \\ n \equiv 0,1,2,3,4,5,6 ,8,9,10,12,13,14 \text{ mod } 16$
Er zijn 7 mogelijkheden modulo 9 en 13 mogelijkheden modulo 16, dus zijn er volgens de Chinese reststelling $9.13=91$ oplossingen modulo $9.16=144$ .
De waarschijnlijkheid dat ${n} \choose {7}$ deelbaar is door 12 nadert dus de waarde $\frac{91}{144}$ .

Wiskunde is leuk

Tag archieven: wiskunde

Oekrainse Wiskunde Olympiade

Opgave 23

Hoeveel kwadraten komen er voor in de eerste duizend termen van de rij $x_n=9n+7$ ?

Waar komt de naam ‘wiskunde’ vandaan?

Opgave 20

AB is een koorde en P een willekeurig punt van een gegeven cirkel. Q is de loodrechte projectie van P op AB en R en S zijn de loodrechte projecties van P op de raaklijnen aan de cirkel in A en B. Bewijs dat PQ het meetkundig gemiddelde is van PR en PS.

Opgave 19

Controleer voor elk natuurlijk getal vanaf 7 of ${n} \choose {7}$ deelbaar is door 12 en bereken de fractie van dergelijke getallen. Zoek de limiet van die fractie als je steeds meer getallen controleert.

Hoeveel kwadraten komen er voor in de eerste duizend termen van de rij ?

AB is een koorde en P een willekeurig punt van een gegeven cirkel. Q is de loodrechte projectie van P op AB en R en S zijn de loodrechte projecties van P op de raaklijnen aan de cirkel in A en B. Bewijs dat PQ het meetkundig gemiddelde is van PR en PS.

Controleer voor elk natuurlijk getal vanaf 7 of deelbaar is door 12 en bereken de fractie van dergelijke getallen. Zoek de limiet van die fractie als je steeds meer getallen controleert.

Hoeveel kwadraten komen er voor in de eerste duizend termen van de rij $x_n=9n+7$ ?

Controleer voor elk natuurlijk getal vanaf 7 of ${n} \choose {7}$ deelbaar is door 12 en bereken de fractie van dergelijke getallen. Zoek de limiet van die fractie als je steeds meer getallen controleert.