Wiskunde is leuk

Opgave 24

Geplaatst op 29 augustus 2018 door admin

Bewijs dat er tussen elke 9 getallen er twee zijn, een a en een b, waarvoor

$0<\frac{a-b}{1+ab}<\sqrt{2}+1$

Antwoord

De middelste uitdrukking doet me onmiddellijk denken aan de formule voor $\tan(a-b)$ .
Bovendien volgt uit $1=\tan(\frac{\pi}{4})=\frac{2\tan(\frac{\pi}{8})}{1-\tan^2(\frac{\pi}{8})}$ dat $\tan(\frac{\pi}{8})=\sqrt{2}+1$ .
Verdeel nu het interval $]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$ in 8 gelijke stukken.
Noteer de 9 gegeven getallen door $a_i$ met $i=1,2,\cdots,9$ . Stel vervolgens $x_i=\text{ bgtan }(a_i)$ .
Er zijn 9 getallen $x_i$ voor 8 intervallen, dus volgt uit het duivenhok principe dat er minstens twee getallen $x_i$ en $x_j$ met $x_j>x_i$ in hetzelfde interval liggen.
Dan geldt $0< x_j-x_i<\frac{\pi}{8}$ .
Omdat de tangensfunctie stijgend is op $]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$ , volgt hieruit dat $0< \tan(x_j-x_i)=\frac{a_j-a_i}{1+a_j.a_i}<\sqrt{2}+1$ .

Opgave 15

Geplaatst op 20 maart 2018 door admin

Zoek het algemeen voorschrift van de rij $a_{n+1}-2a_n=F_n$ met $a_0=0$ , waarbij $F_n$ de rij van Fibonacci is met $F_0=0,F_1=1,F_2=1,...$

Antwoord

Het rechterlid van de formule is niet nul, zodat we geen lineaire recurrente rij krijgen. Maar dat kunnen we verhelpen door ook te schrijven dat $a_{n+2}-2a_{n+1}=F_{n+1}$ en $a_{n+3}-2a_{n+2}=F_{n+2}$ .
De laatste vergelijking verminderd met de vorige en de opgave geeft, gebruikmakend van de eigenschappen van de rij van Fibonacci, dat $a_{n+3}-3a_{n+2}+a_{n+1}+2a_n=0$ .
De karakteristieke vergelijking van deze lineaire recurrentie is $x^3-3x^2+x+2=(x-2)(x^2-x-1)$ . Volgens de theorie van de lineaire recurrente rijen is dan $a_n=A.2^n+B.\alpha^n+C.\beta^n$ . Hierbij is $\alpha=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ en $\beta=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ . We weten, ook door gebruik te maken van de theorie van de lineaire recurrentie, dat $F_n=\dfrac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}$ .
In $a_n=A.2^n+B.\alpha^n+C.\beta^n$ , bepalen we $A,B$ en $C$ door gebruik te maken van $a_0=0,a_1=0$ en $a_2=1$ . We vinden $A=1$ , $B=-\dfrac{\alpha^2}{\alpha-\beta}$ en $C=\dfrac{\beta^2}{\alpha-\beta}$ .
Bijgevolg is $a_n=2^n-F_{n+2}$ .

Opgave 8

Geplaatst op 18 december 2017 door admin

Als a,b en c de maatgetallen voorstellen van de zijden van een driehoek, dan geldt

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}<2$

Antwoord

Omdat a,b en c de maatgetallen voorstellen van de zijden van een driehoek, weten we dat elke zijde kleiner is dan de som van de twee andere zijden. Dus bijvoorbeeld $a<b+c$
Dan is $\frac{a}{b+c}=\frac{2a}{2(b+c)}=\frac{2a}{(b+c)+(b+c)}$ .
Door toepassing van de driehoeksongelijkheid op het eerste deel van de noemer vinden we dat
$\frac{a}{b+c}<\frac{2a}{a+b+c}$

.
Op analoge wijze vinden we dat $\frac{b}{c+a}<\frac{2b}{a+b+c}$ en $\frac{c}{a+b}<\frac{2c}{a+b+c}$ .
Alles samenvoegen geeft
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2$

Pariteit

Geplaatst op 8 december 2017 door admin

Het feit dat een gegeven even of oneven is kan belangrijk zijn om de oplossing van het probleem te vinden. Het even of oneven zijn van een getal noemen we de pariteit van het getal. Deze heuristiek wordt dikwijls gebruikt in combinatie met kleuringen of het invariantie principe.

Neem 2017 punten op een cirkel en verbind ze tot ze een 2017-hoek vormen. Elke zijde van deze 2017-hoek krijgt een ‘lading’: $+1$ of $-1$ . Bewijs dat er altijd een hoekpunt moet zijn, zodat het product van de ladingen van de zijden die samenkomen in dat punt, gelijk is aan $+1$ .

Neem een willekeurige zijde en geef die lading $+1$ . Dit kan, want als alle ladingen $-1$ zouden zijn is het gestelde zeker al bewezen. Het rechtse eindpunt van de zijde noemen we $H_1$ .
Ga rechtsom en neem de volgende zijde. Is de lading +1 dan is $H_1$ een hoekpunt dat aan de voorwaarde voldoet. Dus veronderstel dat de lading $-1$ is.
Je gaat zo steeds verder. Ofwel vindt je twee maal na elkaar eenzelfde lading, en dan is de stelling bewezen. Ofwel alterneren de ladingen $+1$ en $-1$ elkaar. Omdat 2017 oneven is zal de laatste zijde lading +1 hebben en is de stelling ook dan bewezen.
Je kan het probleem ook oplossen door $P_i$ te definiëren als het product van de ladingen die in hoekpunt $H_i$ samenkomen. Het product van alle $P_i$ ’s moet $+1$ zijn, omdat alle zijden twee keer geteld worden in dit product. Omdat we een oneven aantal hoekpunten hebben kunnen niet alle $P_i$ ’s gelijk zijn aan $-1$ . Er is dus minstens één hoekpunt, zodat het product van de ladingen van de zijden die samenkomen in dat punt, gelijk is aan $+1$ .

Formuleer een eenvoudiger probleem

Geplaatst op 8 oktober 2017 door admin

Om een probleem op te lossen verzamelen we eerst alle gegevens. We proberen ze te begrijpen en te analyseren. Maar soms kunnen we dat niet doen op een betekenisvolle manier omdat de berekeningen te ingewikkeld zijn of omdat er bijvoorbeeld geen speciale gevallen zijn die ons enig inzicht kunnen geven in het probleem. We proberen dan het probleem te herformuleren in een equivalente maar eenvoudiger vorm. Hiervoor zullen we gebruik moeten maken van onze verbeelding en creativiteit. Dikwijls gebruiken we hiervoor algebraïsche of goniometrische formules, substitutie of verandering van onbekende,…

Voorbeeld:

Vind een algemene formule voor de n-de afgeleide van

$f(x)=\dfrac{1}{1-x^2}$

$f'(x)=\dfrac{2x}{(1-x^2)^2}$ , $f''(x)=\dfrac{2+6x^2}{(1-x^2)^3}$ , $f'''(x)=\dfrac{24x+24x^3}{(1-x^2)^4}$ . De uitdrukking wordt steeds ingewikkelder en we zien geen regelmaat verschijnen.
Misschien kunnen we de opgave eerst vereenvoudigen en dan denken we onmiddellijk aan splitsen in partieelbreuken:
$f(x)=\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{1}{1-x}+\dfrac{1}{1+x}\Big)$
Het probleem is nu herleid tot het vinden van een algemene formule voor de n-de afgeleide van $g(x)=\dfrac{1}{1-x}$ en $h(x)=\dfrac{1}{1+x}$ .
$g'(x)=\dfrac{1}{(1-x)^2}$ , $g''(x)=\dfrac{2}{(1-x)^3}$ , $g'''(x)=\dfrac{2.3}{(1-x)^4}$ . Zo komen we tot de formule:
$g^{n}(x)=\dfrac{n!}{(1-x)^{n+1}}$

We kunnen dit eventueel bewijzen via inductie.
Analoog vinden we :
$h^n(x)=\dfrac{(-1)^n.n!}{(1+x)^{n+1}}$
We besluiten dus:
$f^n(x)=\dfrac{n!}{2}\Big(\dfrac{1}{(1-x)^{n+1}}+\dfrac{(-1)^n}{(1+x)^{n+1}}\Big)$

Bewijs dat er tussen elke 9 getallen er twee zijn, een a en een b, waarvoor

Zoek het algemeen voorschrift van de rij met , waarbij de rij van Fibonacci is met

Als a,b en c de maatgetallen voorstellen van de zijden van een driehoek, dan geldt

Antwoord

Neem 2017 punten op een cirkel en verbind ze tot ze een 2017-hoek vormen. Elke zijde van deze 2017-hoek krijgt een ‘lading’: of . Bewijs dat er altijd een hoekpunt moet zijn, zodat het product van de ladingen van de zijden die samenkomen in dat punt, gelijk is aan .

Vind een algemene formule voor de n-de afgeleide van

Bewijs dat er tussen elke 9 getallen er twee zijn, een a en een b, waarvoor

$0<\frac{a-b}{1+ab}<\sqrt{2}+1$

Zoek het algemeen voorschrift van de rij $a_{n+1}-2a_n=F_n$ met $a_0=0$ , waarbij $F_n$ de rij van Fibonacci is met $F_0=0,F_1=1,F_2=1,...$

Als a,b en c de maatgetallen voorstellen van de zijden van een driehoek, dan geldt

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}<2$

Neem 2017 punten op een cirkel en verbind ze tot ze een 2017-hoek vormen. Elke zijde van deze 2017-hoek krijgt een ‘lading’: $+1$ of $-1$ . Bewijs dat er altijd een hoekpunt moet zijn, zodat het product van de ladingen van de zijden die samenkomen in dat punt, gelijk is aan $+1$ .

Vind een algemene formule voor de n-de afgeleide van

$f(x)=\dfrac{1}{1-x^2}$