Veronderstel dat n een oneven getal en schrijf dan op een blad papier alle natuurlijke getallen 1,2,3,…., 2n. Dan laat je er twee willekeurige getallen hieruit kiezen en schrap ze en schrijf erbij het verschil van het grootste men het kleinste van die twee getallen. Toon aan dat, bij herhaling, het laatste overblijvende getal zeker oneven is.

Antwoord

Noteer met S de som van alle opgeschreven getallen. Dan is S=1+2+…+2n of
$S=n(2n+1)$
Dus S is oneven omdat n oneven is en 2n+1 ook.
Neem nu twee willekeurig neergeschreven getallen a en b en stel a>b , dan wordt de nieuwe som $S'=S-a-b+a-b=S-2b$ . Omdat je een even getal aftrekt van een oneven S, zal de nieuwe som S’ ook oneven zijn. Voor het geval dat a<b is dit analoog.
De pariteit van de som van alle nog beschikbare getallen is dus een invariante. Met andere woorden, telkenmale we twee getallen schrappen en vervangen door het verschil blijft de som oneven.
Dus het laatst overgebleven getal is oneven.

Wiskunde is leuk