Tag archieven: plato

Griekse wiskunde: deel 4

Geplaatst op door

De  4de eeuw voor  Christus: bloeiperiode van de wiskunde. De tijd van Plato en Aristoteles.

We beperken ons tot een overzichtelijke samenvatting van de wiskundige werken, waaruit de krachtlijnen van de onderzoeken zouden moeten blijken. De meeste bijdragen halen een hoog wetenschappelijk niveau en de bewijzen zijn niet alleen wiskundig streng maar getuigen ook van een grote denkkracht en een rijke creativiteit. In het filosofisch stelsel van Plato wordt de wiskunde verheven tot de kunst van het exact redeneren over louter abstracte begrippen, die dus los dienen te staan van elke zintuigelijke waarneming.

  • de  irrationale getallen: Theaetetus (414-370 v.C.), vriend van Plato en Socrates,  stelt in een samenspel tussen meetkunde en getallenleer een classificatie op van 13 irrationaliteiten en bewees ook dat de verzameling irrationale getallen oneindig is.
  • de bekende wiskundige van deze tijd was Eudoxos van Cnidus (405-315 v.C.) .  Hij werkte vooral rond de gulden snede, de doorsnede van krommen en de verdubbeling van een kubus .Hij heeft eveneens ontdekt dat de verhouding van het volume van een piramide ten opzichte van een prisma op hetzelfde grondvlak een op drie is. 
  • De exhaustie methode : het geniale antwoord van Eudoxos op de paradoxen van Zeno. Heeft me, 2 ongelijke grootheden van een zelfde soort, dan kan steeds een natuurlijk getal gevonden worden dat met hun verschil vermenigvuldigd, elke gegeven grootheid van die soort overtreft. Hiermee bewees hij bvb. dat de oppervlakten van twee cirkels zich verhouden als de kwadraten van hun stralen.
  • De 5 regelmatige veelvlakken ( platonische lichamen) , veelvlakken die begrensd zijn door een aantal congruente regelmatige veelhoeken: tetraëder, kubus, dodecaëder, octaëder en de isocaëder. De drie eersten waren reeds bekend aan de Pythagoreeërs. Het was Theaetetus die de laatste twee ontdekte en een nauwkeurige beschrijving gaf van de constructie en de berekening van de ribben in functie van de straal van de omgeschreven bol.
  • Het bestuderen van de 3 grote problemen ( driedeling hoek, verdubbeling kubus en kwadratuur van de cirkel) leidde tot de studie van speciale krommen: de kwadratix ( Hippias van Elis , rond 420 v.C.), de kegelsneden ( Menaechmus rond 350 v.C.)
  • Er ontstond meer en meer de noodzaak om de volledige wiskundige kennis te ordenen tot een samenhangend geheel. Hippochrates van Chios zou de samensteller zijn van de eerste zogenaamde Elementen.  Van hem zijn ook  de maantjes van Hippocrates. 

Regelmatige veelvlakken

Geplaatst op door

Een regelmatig veelvlak is een veelvlak met volgende eigenschappen:

  • Alle zijvlakken zijn congruente regelmatige veelhoeken.
  • In elk hoekpunt komen evenveel zijvlakken samen.
  • Ze zijn convex
  • De hoeken tussen de zijvlakken zijn steeds hetzelfde.
  • Voor het aantal ribben (R), het aantal grensvlakken (G) en aantal hoekpunten (H) van een convex lichaam geldt de formule van Euler: R + 2 = G + H

Er zijn er 5; ze worden ook wel eens de Platonische lichamen genoemd naar Plato(427 BC – 347BC), die ze het eerst beschreef.

Plato bracht de vijf regelmatige veelvlakken ook in verband met de vijf kosmische bouwstenen van de wereld: vuur, lucht, water, aarde en hemelmaterie.

Verbindt men de middens van de zijvlakken van een veelvlak met elkaar, dan vormen de verbindingslijnen de ribben van een ander veelvlak. Een viervlak blijft een viervlak, maar een kubus wordt een octaëder en omgekeerd. Een dodecaëder wordt een icosaëder en omgekeerd. De kubus en de octaëder zijn het duale veelvlak van elkaar, de dodecaëder en de icosaëder ook.

Plato en de verdubbeling van de kubus

Geplaatst op door

Het probleem van het ’verdubbelen van de kubus’  luidt: construeer de ribbe van een kubus die een twee keer zo grote inhoud heeft als die van een gegeven kubus.

 

Volgens de legende consulteerden de burgers van Athene het orakel van Apollo in Delos in 430 v.Chr. om te horen hoe zij de pest, die een vernietigende werking had op hun land, moesten bestrijden. Het orakel antwoordde dat, om de pest te stoppen, zij hun altaar in grootte moesten verdubbelen. De Atheners verdubbelden plichtsgestrouw elke zijde van het altaar, en de pest verslechterde! De correcte interpretatie was dat zij het volume van het altaar moesten verdubbelen, niet slechts de lengte van de zijdes; dit bleek een zeer moeilijk oplosbaar probleem. Ten gevolge van deze legende wordt het probleem vaak het Delische probleem genoemd.

De oude Grieken poogden de constructie uit te voeren met behulp van ’hun’ constructiemiddelen: de passer en liniaal. Maar het bleek daarmee niet te kunnen.
Vele eeuwen later werd bewezen dat de oplossing met passer en liniaal niet mogelijk is.
Echter, er zijn wel andere middelen om de constructie uit te voeren. Zo heeft Nicomedes (ca. 180 v.Chr.) de conchoïde, een bijzondere kromme lijn, ontdekt waarmee hij de oplossing kon construeren.

Wij geven een eenvoudige oplossing die toegeschrevn wordt aan Plato. Stel dat de gegeven kubus een ribbe heeft met lengte a en de gevraagde kubus een ribbe met de lengte x. Dan kunnen we het probleem als volgt omschrijven:
Gegeven: a; Construeer: een x die voldoet aan 

    \[x^3 = 2a^3\]

;

Denk je een rechthoekig trapezium ABCD waarin de diagonalen loodrecht op
elkaar staan .

Als we SC de lengte a geven en SB de lengte 2a, dan zal DS  of p dus, gelijk zijn aan de gevraagde  afstand. Het is duidelijk dat de driehoeken 1,2 en 3 allen gelijkvormig zijn ( gelijk hoeken via verwisselende binnenhoeken of complementen van verwisselende binnenhoeken). Hieruit volgt dat \frac{a}{p}=\frac{p}{q} of p^2=aq. Verder is ook \frac{a}{p}=\frac{q}{2a} of q=\frac{2a^2}{p}. Als we deze twee formules samnevoegen krijgen we p^3=2a^3 en dus is p het gewenste antwoord.