norm | Wiskunde is leuk

Om het begrip afstand te definiëren hebben we een metriek nodig. Dit kan je hier lezen. Een voorbeeld van een metriek in $\mathbb{R}^2$ is de Euclidische afstand, gedefinieerd door

$d(x,y)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Hiermee is een norm gedefinieerd via

$\Vert x\Vert =\sqrt{x_1^2+y_1^2}$

en dan is

$d(x,y)=\Vert y-x\Vert$

In $\mathbb{R}^2$ is er ook een skalair product

$x.y=x_1x_2+y_1y_2$

Dit is een product met volgende eigenschappen:

$x.x \geq 0$ en $x.x=0 \Leftrightarrow x=0$ .
$x.y=y.x$
$x.(ry+sz)=r x.y +s x.z$

Het gegeven skalair product definieert dus de Euclidische metriek, via $\Vert x\Vert = \sqrtçx.x}$ . Maar dat is niet altijd zo. Er zijn metrieken waarmee geen skalair product is geassocieerd. Een voorbeeld is de Manhattan metriek

$d(x,y)=|x_2-x_1|+|y_2-y_1|$

Er is geen skalair product dat hiermee correspondeert.

Normen die voldoen aan de parallellogram eigenschap kunnen een skalair product definiëren, andere niet:

$\Vert x+y \Vert +\Vert x-y \Vert=2(\Vert x \Vert+ \Vert y\Vert)$

Een Pythagorees drietal is een drietal positieve gehele getallen (a,b,c) waarvoor geldt dat $a^2+b^2=c^2$ . Zo is (3,4,5) een Pythagorees drietal omdat $3^2+4^2=5^2$ . De naam komt van de stelling van Pythagoras, aangezien dergelijke getallen kunnen optreden als de zijden van een rechthoekige driehoek met c als lengte van de schuine zijde.

Een Pythagorees (a,b,c) drietal heet primitief als de grootste gemene deler van a,b en c gelijk is aan 1. Zo is (3,4,5) primitief , maar ( 6,8,10) niet.

Wat hebben complexe getallen hiermee nu te maken? Neem een complex getal z = a+ bi met a en b geheel. We spreken dan van een complex geheel getal. Definieer de norm N(z) van het complex getal als $N(z) = a^2+b^2$ . Het is duidelijk dat de norm multiplicatief is, m.a.w. $N(z.w)=N(z).N(w)$ . Maar dan is

$N(z^2)=(N(z))^2$

De betrekking $a^2+b^2=c^2$ kan je dus herschrijven als $N(z)=c^2$ met $z=a+bi$ . We zijn dus op zoek naar complexe gehele getallen waarvan de norm een volkomen kwadraat is. Maar bovenstaande formule leert ons dat de norm van een complex getal een volkomen kwadraat is als het zelf een volkomen kwadraat is. Om een Pythagorees drietal te construeren, nemen we dus een willekeurig complex geheel getal en kwadrateren we dit getal. Dit kwadraat zal een complex getal zijn $a+bi$ zijn, waarvan de norm $N(a+bi)=a^2+b^2$ een volkomen kwadraat is.

Neem bijvoorbeeld het complex getal $2+i$ . Dan is $(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i$ . De norm van dit kwadraat is $3^2+4^2=25$ . Hiermee correspondeert het Pythagorees drietal $( 3,4,5)$ .

Vertrekken we algemeen van het complex geheel getal $z=x+yi$ . Kwadrateren we $z$ : $(x+yi)^2=x^2-y^2+2xyi$ . De norm hiervan is $(x^2-y^2)^2+4x^2y^2=(x^2+y^2)^2$ Zo krijgen we de gekende formule voor een willekeurig Pythagorees drietal

$(x^2-y^2,2xy,x^2+y^2)$

Als x en y onderling ondeelbaar zijn , dan is het zo gevormde Pythagorees drietal primitief. Bijgevolg hebben we aangetoond dat met deze constructie via kwadraten van complexe gehele getallen $x+yi$ met x en y onderling ondeelbaar, elk primitief Pythagorees drietal kan worden verkregen.

Wiskunde is leuk

Tag archieven: norm

Afstand en skalair product

Pythagorese drietallen en complexe getallen