mandelbrot | Wiskunde is leuk

Rechthoeken, driehoeken, cirkels,… zijn lange tijd de meest bestudeerde meetkundige figuren geweest. In realiteit komen deze figuren echter zelden voor. Als we eens een luchtfoto bekijken van de kustlijn van een willekeurig continent, dan blijkt die lijn niet meer zo ‘glad’ te zijn dan bij een rechthoek. Er is hier spraken van een fractaal.

De naam fractaal werd ingevoerd door Benoit Mandelbrot, die heeft willen aantonen dat de ons omgevende natuur rijk is aan fractals.

We willen het hier vooral hebben over de dimensie van dergelijke objecten. Dit artikel is geschreven door Luca Pignatti, leerling van 6WEWIe2 aan het H.Drievuldigheidscollege in Leuven.

We zoeken een alternatieve definitie voor de dimensie van een object. Daarvoor voeren we een onderzoek naar dimensies op objecten waarvan we de dimensie reeds kennen. Een 1-dimensioneel lijnstuk, een 2-dimensioneel oppervlak en een 3-dimensionele kubus. Wanneer je elk voorwerp met een factor vergroot of verkleint bekom je hetzelfde voorwerp maar met een verschillende afmeting. Deze afmeting zou je ook kunnen beschouwen als de massa van het voorwerp, ook al is dit niet helemaal juist, een lijnstuk heeft geen massa. Het is wel een goede manier om het te visualiseren. Probeer je voor te stellen dat de voorwerpen uit metaal gemaakt zijn, metalen draad, metaalplaat en massief metaal. Een voorbeeld: verkleinen met factor ½

dimensie 1, lengte ½ , massa ½

dimensie 2, lengte ½, massa 1/4

dimensie 3, lengte ½, massa 1/8

We vinden dat wanneer de lengte gehalveerd wordt, de massa van het voorwerp met diezelfde factor tot de macht van de dimensie verheven wordt. Dit geldt niet enkel voor factor ½ maar voor elk ander reëel, positief getal. zo krijgen we de formule

$s^d=m$

Hierbij is s de vergrotingsfactor, m de massa na de transformatie en d de dimensie .

Dit verband kan ons helpen met zoeken naar de dimensies van bepaalde fractalen, zoals de driehoek van Sierpinski. De driehoek van Sierpiński is een fractaal die werd ontdekt door de Poolse wiskundige Wacław Sierpiński. Uit een gelijkzijdige driehoek wordt de driehoek verwijderd die gevormd wordt door de middens van de drie zijden. Vervolgens wordt deze procedure herhaald in elk van de drie overgebleven driehoeken.

We zien dat wanneer we de zijde van de driehoek met factor ½ verkleinen dat de massa (oppervlakte) van het voorwerp er na tot $\frac{1}{3}$ van de massa ervoor is. Wanneer we onze formule invullen voor s=1/2 en m=1/3 vinden we (1/2)^D= (1/3). De dimensie zou dan gelijk moeten zijn aan $\log_23\approx 1,58496$ .

Laten we even kijken naar de kromme van Koch:

We vinden s=1/3, m=1/4 en dus is de dimensie van de Kochkromme gelijk aan $\log_34\approx 1,26186$ .

De dimensie van onze fractals is dus niet langer een natuurlijk getal, maar wel een breuk! Iets tussen dimensie 1 en dimensie 2.

Peter is een geheim agent die gevangen gehouden wordt door terroristen Hij heeft een ontsnappingsplan: volg de kwadratische vergelijking $z_{n+1}=z_n^2+c$ , waarbij de vloer van zijn kamer als het complexe vlak wordt bekeken en waar hij in de oorsprong staat. Peter kent echter de constante c niet. Voor welke waarden van c heeft hij een kans op ontsnapping?

Proberen we eerst c = 0. Maar dan wordt, voor elke n, $z_n=0$ en blijft hij steeds op dezelfde plaats. Als we andere waarden van c proberen, zijn er 3 mogelijkheden:

De rij $z_n$ convergeert naar een vast punt.
De rij $z_n$ wordt herhaald in een eindige cyclus van punten en wordt een periodieke rij.
De rij $z_n$ divergeert weg van de oorsprong en Peter heeft kans op ontsnapping.

Dit verhaal is eigenlijk het verhaal van de Mandelbrot verzameling, namelijk de verzameling van alle complexe getallen c waarvoor de baan van $z_{n+1 }=z_n^2+c$ begrensd is ( dus niet divergeert) met startpunt $(0,0)$ .

Wiskunde is leuk

Tag archieven: mandelbrot

Dimensie

Fractaal ontsnappingsspel