Beschouw de vergelijking

$3x^2-4xy+5=0$

Bij de vraag naar oplossingen $(x,y)$ van deze vergelijking is het nodig te specifiëren tot welke verzameling deze oplossingen moeten behoren. De grafiek, volgens Wolfram Alpha, is:

Elke reële oplossing bepaalt een punt van deze parabool.
De rationale oplossingen zijn
$\{(q,\frac{3q^2+5}{4q}: q\in \mathbb{Q}\}$
De hyperbool bevat dus ook oneindig veel punten met rationale coördinaten.
Zijn hier gehele oplossingen bij en zo ja dewelke? Als we op zoek zijn naar gehele oplossingen en als de vergelijking ook enkel gehele coëfficiënten heeft, spreken we van een Diophantische vergelijking.
Omdat
$3x^2-4xy+5=0\leftrightarrow x(3x-4y)=-5$
moeten, als x en y geheel zijn, zowel $x$ als $3x-4y$ gehele delers zijn van $-5$ . Dit aantal is eindig.
Dit geeft 4 oplossingen met gehele getallen of met andere woorden 4 roosterpunten op de hyperbool: $(1,2),(-1,-2),(5,4)$ en $(-5,-4)$

Ik woon aan de kant van de even huisnummers in mijn straat. Als ik de huisnummers van de huizen links van mij optel en daarna die van rechts, dan zijn die twee sommen gelijk. Hoeveel huizen staan er aan de even kant in mijn straat en op welk nummer woon ik?

Veronderstel dat ik in het (k+1) ste huis woon, dan staan er k huizen links van mij, met nummers 2,4,6,…,2k. Dit zijn termen van een rekenkundige rij en dus kunnen we de som berekenen:

$S_l=\frac{1}{2}k.(2+2k)=k^2+k$

Als er n huizen staan in mijn straat, dan bevinden zich rechts van mij nog n-k-1 huizen, met nummer 2k+4,2k+6,…,2n. Ook hier hebben we een rekenkundige rij, dus :

$S_r=\dfrac{1}{2}(n-k-1)(2k+4+2n)=(n-k-1)(n+k+2)$

Nu moet $S_l=S_r$ . Dit geeft na uitwerking:

$2k^2+4k-(n^2+n-2)=0$

Dit is een Diophantische vergelijking. We zoeken naar gehele oplossingen . Bijgevolg moet $k=\dfrac{-4 \pm \sqrt{16+8(n^2+n-2)}}{4} \in \mathbb{Z}$ . Hieruit volgt:

$k=-1 \pm \sqrt{\frac{1}{2}(n^2+n)} \in \mathbb{Z}$

Daarom moet $n^2+n =2x^2$ met $x\in \mathbb{Z}$ . Dit valt te herschrijven als

$(2n+1)^2-8x^2=1$

Vergelijkingen van de vorm $x^2-Ay^2=1$ noemt men vergelijking van Pell. Dit type vergelijkingen is moeilijk op te lossen, maar we kunnen wel een aantal oplossingen ‘proberen’, omdat de straten bij ons niet zo lang zijn. Zo vinden we :

$\begin{array}{c|c|c} n&k+1&\text{huisnummer}\\ \hline \\ 1&1&2\\8&6&12\\49&35&70\\288&204&408 \end{array}$

De eerste oplossing is een beetje absurd: een straat met maar 1 huis. Bij de tweede oplossing telt de straat 8 huizen langs de even kant en woon ik in huisnummer 16. Links van mij heb je de nummers 2,4,6,8 en 10 met som 30 en rechts van mij de nummers 14 en 16, ook met som 30. De derde oplossing geeft een straat met 49 huizen en ik woon op nummer 70.

Wiskunde is leuk

Tag archieven: diophantische vergelijking

Roosterpunten op een hyperbool

Even huisnummers

Ik woon aan de kant van de even huisnummers in mijn straat. Als ik de huisnummers van de huizen links van mij optel en daarna die van rechts, dan zijn die twee sommen gelijk. Hoeveel huizen staan er aan de even kant in mijn straat en op welk nummer woon ik?