Priemgetallen | Wiskunde is leuk

De Poolse wiskundige W.Sierpinski (1882-1969) was eer gefascineerd door de priemgetallen en hun spreiding tussen de andere natuurlijke getallen. We vermelden twee mooie resultaten.

Men kan een rij van opeenvolgende natuurlijke getallen bepalen, zo lang als men wilt, die geen enkel priemgetal bevat. Zo kan men bijvoorbeeld 100 opeenvolgende getallen kiezen zonder dat er een priemgetal inzit. Neem 101!+2,101!+3,…,101!+101. Dit zijn 100 opeenvolgende getallen en ze zijn geen van allen priem want ze zijn respectievelijk deelbaar door 2,3,…,101

Voor elke n kan men een priemgetal vinden met links en rechts ervan n niet-priemen:

Neem een priemgetal q groter dan n+1.
Bereken $a=\prod_{j=1}^{q-2}(q^2-j^2)$ .
$q$ is onderling ondeelbaar met a.
De stelling van Lejeune-Dirichlet over de rekenkundige rij zegt dat er een priemgetal p bestaat met $p>q$ en $p=ak+q$ .
Nu is $q+j$ een deler van a en omdat $p+j=ak+q+j$ ook een deler van $p+j$ .
Analoog is $q-j$ een deler van $p-j$ .
Dus zijn $p-j$ en $p+j$ niet priem en dit voor j=1,2,…,n

Neem n=2 en q respectievelijk de priemgetallen 5,7,11,13,…, dan kan je zo bewijzen dat er oneindig veel priemgetallen bestaan die geen deel uitmaken van een priemtweeling.