René Descartes

Geplaatst op door

Descartes werd geboren in 1596 in La Haye,Frankrijk. In 1802 veranderde La Haye zijn naam in La Haye-Descartes en in 1976 verdween het La Haye gedeelte en zo is er dus een stad in Frankrijk met als naam Descartes.

In 1616 behaalde Descartes een graad in de rechten aan de universiteit van Poitiers. Vlak daarna ging hij het leger in. In 1621 verliet Descartes het leger en reisde vanaf dan, tot in 1628 door heel Europa. Hij eindigde in Nederland  waar hij al vroeger geweest was en waar hij een jarenlange vriendschap onderhield met de Nederlandse filosoof en wetenschapper Beeckman.

In Nederland schreef Descartes de werken die hem beroemd zouden maken bij zowel wiskundigen als filosofen. Hij begon met het werk Le monde dat hij uiteindelijk niet publiceerde. Waarom? Hij had juist vernomen dat Galileo huisarrest had gekregen omdat  hij de visie van de kerk op het universum weersprak. Descartes’ volgende werk was Over de methode.Centraal in dit werk stonden zijn gedachten over wat waar is. Het belangrijkste citaat hierin was:  je pense don je suis. Het werk heeft drie aanhangsels: La dioptrique (over optica), Les météores (over meteorologie) en La Géometrie (over meetkunde) . In dit laatste deel legt Descartes de basis voor de analytische meetkunde. Hij legde het verband tussen meetkunde en algebra dat we nu vanzelfsprekend vinden. Het cartesisch ( = van Descartes ) coördinatenstelsel komt ook uit dit aanhangsel. Descartes overleed op 11 februari 1650 in Zweden waar hij was op uitnodiging van koningin Christina .

Euler circuit

Geplaatst op door

Een Eulerpad in een graaf is een pad waarbij elke lijn juist 1 keer wordt aangedaan.

We spreken van een Eulercircuit als bovendien vertrekpunt en eindpunt van het pad dezelfde zijn. Bvb 4 3 0 1 2 0 4

Het was Euler die volgende stelling over Eulercircuits bewezen heeft:

Een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit als en slechts als elk punt van de graaf een even graad heeft.

Kijk maar naar de graden in  volgend voorbeeld:

Ook het probleem van de bruggen van Koningsberg is hiermee opgelost. Alle punten van de graaf hebben graad 3 en bijgevolg is een route langsheen de vier bruggen, waarbij elke brug precies één keer bewandeld wordt en waarbij men terugkeert naar de startplaats, niet te vinden.

Nootje 49

Geplaatst op door

De functie f is gedefinieerd op de verzameling geordende paren positieve getallen en voldoet aan :f(x,x)=x , f(x,y)=f(y,x) en f(x,y).(x+y)=y.f(x,x+y). Bereken f(14,52)

Antwoord

Rafael Bombelli

Geplaatst op door

Rafael Bombelli werd in 1526 geboren in Bologna. Na Cardano en Tartaglia, vertegenwoordigden hij en L. Ferrari, de assistent van Cardano, een nieuwe generatie van grote Italiaanse wiskundigen. 

Hij volgde geen universitaire opleiding, maar kreeg les van Pier Francesco Clementi, een ingenieur/architect. Deze Pier Francesco Clementi werkte vanaf 1548 voor het Pausdom aan het droogleggen van de moerassen en Bombelli werd hierin betrokken. Maar in 1555, toen dit project werd opgeschort, besloot Bombelli een allesomvattend overzicht van de algebra te schrijven om alzo het onderwerp toegankelijker te maken. 

Bombelli was geregeld in Rome, waar hij onder andere Paus Pius IV adviseerde op de voorgestelde drooglegging van de Pontijnse moerassen. Tijdens een van zijn bezoeken aan Rome ontmoette hij Antonio Maria Pazzi en begon met hem te werken aan het net ontdekte manuscript Arithmetica van Diophantus.

Toen Bombelli’s algebra uiteindelijk werd gepubliceerd in drie delen omvatte het een aantal problemen dat hij had ontleend aan Diophantus.

 

Bombelli overleed in 1572, waarschijnlijk in Rome. In datzelfde jaar, voor zijn dood, publiceerde hij de eerste drie delen van ‘Algebra’. De overige twee delen, meer gericht op meetkunde, werden ontdekt in 1923 en voor het eerst gepubliceerd in 1929.

Bombelli’s werk was belangrijk om twee redenen: allereerst het gemak waarmee hij  met de negatieve getallen werkte en ten tweede omdat hij de regels vaststelde voor het optellen, aftrekken en vermenigvuldigen van complexe getallen.

36 officieren

Geplaatst op door

Het 36 officieren probleem, ook wel bekend als het probleem van Euler’s 36 officieren, is een beroemde puzzel in de combinatoriek, bedacht door de wiskundige Leonhard Euler in 1782. Het probleem kan als volgt worden omschreven:

Stel je hebt een leger van 36 officieren, bestaande uit 6 verschillende regimenten en 6 verschillende rangen. Je moet deze 36 officieren opstellen in een 6×6 rooster, zodanig dat in elke rij en elke kolom precies één officier van elk regiment en één officier van elke rang voorkomt.

Euler conjectureerde dat dit probleem geen oplossing heeft voor een 6×6 rooster, en dit werd later bewezen door Gaston Tarry (1843-1913) in 1901. Het betekent dat het onmogelijk is om een 6×6 rooster te vullen met deze eigenschappen. De onmogelijkheid van het oplossen van het 36-officieren probleem komt voort uit het feit dat het een speciaal geval is van het algemene probleem van het vinden van “orthogonale Latijnse vierkanten”. Latijnse vierkanten zijn roosters waarbij in elke rij en kolom elke symbool precies één keer voorkomt. Twee Latijnse vierkanten zijn orthogonaal als je ze over elkaar legt en elke combinatie van symbolen precies één keer voorkomt. Voor n=6 bestaat er geen paar van orthogonale Latijnse vierkanten, wat het 36-officieren probleem onoplosbaar maakt.

Euler vermoedde dat als n=4k+2, waarbij k een natuurlijk getal is, er geen paar orthogonale Latijnse vierkanten van n\times n bestaat. Dit vermoeden werd pas in 1959 ontkracht, toen de wiskundigen Bose,Shikhande en Parker een paar orthogonale Latijnse vierkanten van 22 \times 22 maakten. 

Er bestaan wel oplossingen als bijvoorbeeld  n=5 en n=7