Priemgetallen

Geplaatst op door

De Poolse wiskundige W.Sierpinski (1882-1969) was eer gefascineerd door de priemgetallen en hun spreiding tussen de andere natuurlijke getallen. We vermelden twee mooie resultaten.

Men kan een rij van opeenvolgende natuurlijke getallen bepalen, zo lang als men wilt, die geen enkel priemgetal bevat. Zo kan men bijvoorbeeld 100 opeenvolgende getallen kiezen zonder dat er een priemgetal inzit.  Neem 101!+2,101!+3,…,101!+101. Dit zijn 100 opeenvolgende getallen en ze zijn geen van allen priem want ze zijn respectievelijk deelbaar door 2,3,…,101

Voor elke n kan men een priemgetal vinden met links en rechts ervan n niet-priemen:

  • Neem een priemgetal q groter dan n+1.
  • Bereken a=\prod_{j=1}^{q-2}(q^2-j^2).
  • q  is onderling ondeelbaar met a.
  • De stelling van Lejeune-Dirichlet over de rekenkundige rij zegt dat er een priemgetal p bestaat met p>q en p=ak+q.
  • Nu is q+j een deler van a en omdat p+j=ak+q+j ook een deler van p+j. 
  • Analoog is q-j een deler van p-j.
  • Dus zijn p-j en p+j niet priem en dit voor j=1,2,…,n

Neem n=2 en q respectievelijk de priemgetallen 5,7,11,13,…, dan kan je zo bewijzen dat er oneindig veel priemgetallen bestaan die geen deel uitmaken van een priemtweeling.

De parabool van Neile

Geplaatst op door

In 1657 berekende de Britse wiskundige William Neile (1637-1670), als eerste de booglengte van een algebraïsche kromme:

    \[a^2x^3=y^2\]

Daarvoor kon men al wel de booglengte bepalen van transcendente krommen zoals de cycloïde en de logaritmische spiraal.

Deze kromme wordt de semikubische parabool , of parabool van Neile, genoemd, wat gemakkelijker te begrijpen valt als we deze herschrijven als y=\pm ax^{1,5}

Een parametervergelijking wordt gegeven door x(t)=t^2 en y(t)=at^3. De semikubische parabool ontstaat als evolute van de parabool. Een evolute is de meetkundige plaats van alle krommingsmiddelpunten (middelpunt van de cirkel die in het gegeven punt de kromme ‘kust’) van de gegeven parabool.

 

Fibonacci

Geplaatst op door

Fibonacci, ook bekend als Leonardo Pisano, werd in 1170 geboren in Pisa,Italië. Hoewel hij in Italië werd geboren, groeide hij op en genoot hij zijn opleiding in Noord-Afrika. Zijn vader was immers diplomaat voor de republiek pissen vertegenwoordigde kooplieden die handelden via een haven in het huidige Algerije.

Omdat Fibonacci werd opgeleid in wat toen een deel van het islamitische rijk was, leerde hij werken met een veel beter getallenstelsel dan het stelsel dat toentertijd in Europa werd gebruikt. Fibonacci reisde veel en keerde in 1200 terug naar Pisa. daar schreef hij verschillende teksten, zoals liber Abaci (1202), Practica Geometrie(1220), Flos(1225) en liber quadratorum(1225). Hij overleed in 1250 in Pisa. Nu staat er een standbeeld van hem op de begraafplaats vlak bij de scheve toren van Pisa.

Practica Geometrie telt 8 hoofdstukken met meetkundige problemen gebaseerd op Euclides’ Elementen. In Flos lost hij een derdegraadsvergelijking op die Omar Khayyam al eerder oploste en hoewel de oplossing een irrationaal getal was, wist Fibonacci de oplossing te vinden, correct op 9 decimalen.

Liber quadratorum  is zijn beste boek ( alhoewel niet zo beroemd als liber abaci). Het is een tekst over getaltheorie, zonder duidelijk praktische toepassingen, maar wel fascinerend. In Liber quadratorum kijkt Fibonacci onder meer naar naar kwadraten en schrijft dat deze de som zijn van oneven getallen.Hij schrijft ook over een manier om Pythagorese drietallen te vinden: Neem een oneven kwadraat als start.  Neem vervolgens de som van alle oneven getallen tot aan het oneven getal dat in stap 1 werd gebruikt. Neem bijvoorbeeld als eerste stap 25. Dan berekenen we 1 + 3 + 5 + …+ 23=144. De som van de vorige twee resultaten is dan 25 + 144 = 169. Het gevonden Pyhagorees drietal is (5,12,13).

Göbekli Tepe

Geplaatst op door

In de glooiende heuvels van Zuidoost-Turkije ligt een archeologische site die de geschiedenis van de menselijke beschaving op zijn kop heeft gezet. Göbekli Tepe, dat dateert van ongeveer 9600 v.Chr., wordt beschouwd als ’s werelds oudste bekende tempelcomplex en werpt nieuw licht op de oorsprong van religie en gemeenschappen.

Göbekli Tepe werd ontdekt in de jaren ’60, maar kreeg pas serieuze aandacht in de jaren ’90 toen de Duitse archeoloog Klaus Schmidt begon met opgravingen. Wat hij vond, waren gigantische T-vormige pilaren, versierd met ingewikkelde reliëfs van dieren zoals leeuwen, slangen, en varkens. Deze pilaren waren gerangschikt in cirkelvormige structuren, die doen denken aan Stonehenge, maar dan duizenden jaren ouder.

De ontdekkingen bij Göbekli Tepe hebben onze opvattingen over de prehistorische mens radicaal veranderd. Voorheen werd aangenomen dat georganiseerde religie en complexe sociale structuren pas ontstonden na de ontwikkeling van landbouw en permanente nederzettingen. Göbekli Tepe toont echter aan dat jager-verzamelaars al in staat waren om monumentale bouwwerken te creëren en mogelijk al vroege vormen van georganiseerde religie praktiseerden. Wat vooral fascinerend is aan Göbekli Tepe, is de architectonische en technische vaardigheid die nodig was voor de bouw. De stenen pilaren wegen tot 20 ton en moesten worden uitgehouwen, verplaatst en opgericht zonder het gebruik van wielen of trekkrachten zoals we die kennen. Dit impliceert een hoge mate van organisatie en samenwerking onder de bouwers, wat ongekend was voor die tijd.