Kettingwortels

Geplaatst op 18 oktober 2024 door admin

Een uitdrukking zoals

$x=\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+...}}}}$

wordt een oneindige kettingwortel genoemd.

Als we beide leden kwadrateren komt er:

$x^2=a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+...}}}}$

of nóg $x^2=a+x$ . De positieve oplossing van deze vierkantsvergelijking is $x=\frac{1}{2}(1+\sqrt{1+4a})$ .

Stel hierin bijvoorbeeld $a=1$ , dan bekomen we:

$\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}}$

In het bijzonder ontstaat er een natuurlijk getal indien $1+4a$ een volkomen kwadraat is. Een paar voorbeelden:

$2=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}$

$3=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}}$

$4=\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+...}}}}$

Tangens berekenen

Geplaatst op 12 oktober 2024 door admin

Bereken de exacte waarde van $\tan 22^\circ 30^\prime$ .

Pas de verdubbelingsformule toe:
$\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}$
Gebruik het feit dat $\tan 45^\circ=1$ .
Dit leidt tot de vergelijking ( stel $a=22^\circ 30^\prime$ ): $\tan^2a+2\tan a-1=0$ .
Lossen we deze vierkantsvergelijking op , dan vinden we $\tan a = -1+\sqrt{2}$ of $\tan a=-1-\sqrt{2}$ .
Aangezien a een hoek is in het eerste kwadrant, moet zijn tangens positief zijn en vinden we dus dat
$\tan 22^\circ30^\prime =\sqrt{2}-1$

Julia fractaal

Geplaatst op 4 oktober 2024 door admin

Neem de functie $f(x)=x^2+c$ en neem een willekeurige startwaarde $x_1$ . Bereken de functiewaarde van $x_0$ en noem die $x_1$ . Bereken vervolgens de functiewaarde van $x_1$ en noem die $x_2$ . We verkrijgen zo een rij getallen

$x_{n+1}=f(x_n)$

Gaston Julia ( 1893-1978) publiceerde in 1919 zijn boek Mémoire sur l’iteration des fonctions rationelles waarin hij het iteratief gedrag van deze functie(s) onderzocht.

We bestuderen nu

de relatie $z_{n+1}=f(z_n)$ in het complexe vlak. Als de rij $z_0,z_1,z_2,...$ begrensd is, dan gaan we de startwaarde $z_0$ plotten. De verzameling punten in het complexe vlak waarvoor de rij begrensd is noemen we de Julia verzameling horend bij c.

Er zijn op basis hiervan twee verzamelingen te construeren: de verzameling van de punten z₀ waarvoor het iteratieve proces begrensd is (de Julia-set bij C) en de verzameling van de punten z₀ waarvoor de verzameling niet-begrensd is. De rand van het “begrensdheidsgebied” wordt een “fractaal” genoemd, de Julia-fractaal bij c.

Dit levert zeer mooie figuren :

Of de san Marco fractaal en het dendriet…

Nootje 50

Geplaatst op 24 september 2024 door admin

Antwoord

Twee maal de stelling van Pythagoras toepassen geeft: $x^2=4a^2+b^2$ en $y^2=4b^2+a^2$ .
We tellen deze vergelijkingen op : $x^2+y^2=5(a^2+b^2)$ .
Omdat nu $x^2+y^2=5$ ,volgt hieruit dat $a^2b^2=1$ .
Pas nogmaals Pythagoras toe in de driehoek ABC en dan vinden we dat $|AB|^2=9a^2+9b^2=9$ .
Bijgevolg is
$|AB|=3$

Lhuilier

Geplaatst op 7 september 2024 door admin

De studie van veelvlakken kan teruggevoerd worden naar de piramiden van het Oude Egypte. Maar het waren voornamelijk de Grieken die geïnteresseerd waren in de wiskundige eigenschappen van regelmatige veelvlakken. Zij ontdekten de 5 platonische lichamen, waarvan een volledige beschrijving werd gegeven door Theiatetos ( 400 BC).

In 1750 formuleerde Euler(1707-1783) een formule die een verband legt tussen het aantal zijvlakken, het aantal hoekpunten en het aantal ribben van een veelvlak: Z – R + H = 2. We zeggen dat deze veelvlakken Eulerkarakteristiek 2 hebben.

Maar Euler zag één punt over het hoofd, namelijk de kwestie van convexiteit. De veelvlakken die Euler en de Grieken bestudeerden, waren allemaal convex zonder dat dit expliciet werd verondersteld. In 1619 beschreef Kepler een regelmatig niet-convex veelvlak, namelijk de stella octangula.

De kwestie van de convexiteit heeft dan ook geleid tot uitzonderingen op de formule van Euler. In 1811 vond Lhuilier( 1750-1840), een Zwitserse wiskundige, 3 soorten veelvlakken waarvoor de formule niet meer klopte. Deze soorten veelvlakken waren echter convex.

Het was uiteindelijk Poincaré die de formule van Euler veralgemeende tot : Z – R + H = 2 – 2g, waar bij g het aantal gaten in het veelvlak is.