Toevoeging en klassen vergelijking

Geplaatst op 24 juni 2023 door admin

Elke groep G werkt, door toevoeging, op zichzelf:

De baan van een element x van G, ook orbit genoemd, noteren we als Orb(x) en is de verzameling elementen van G die toegevoegd zijn aan x: met andere woorden de toevoegingsklasse van x.

De centralisator $C_g$ van een element g is de verzameling elementen van G die commuteren met g. Het is altijd een deelgroep van G en er is een bijectief verband tussen de elementen van Orb(x) en $G/G_x$ . Met andere woorden de orde van een toevoegingsklasse is de index van de centralisator van een willekeurig element x van die klasse in G. Dus deelt de orde van een toevoegingsklasse steeds de orde van de groep.

De klassen vergelijking schrijft de orde van G als som van de ordes van de toevoegingsklassen.

Basisfeiten over groepen

Geplaatst op 21 juni 2023 door admin

Voor de classificatie van eindige groepen kunnen we beroep doen op de stellingen van Sylow ofwel kunnen we gebruik maken van een aantal elementaire eigenschappen:

Groepen van priem orde zijn cyclisch en uniek op een isomorfisme na.
Toegevoegde elementen hebben dezelfde orde.
Als de quotiënt groep van G met zijn centrum Z(G) cyclisch is, dan is G abels.
Als in een groep G, alle elementen, behalve het eenheid element, orde 2 hebben, dan is G abels.
Als p priem is, dan is het aantal elementen van orde p altijd een veelvoud van p – 1.
Als een groep G gegenereerd wordt door 2 normale deelgroepen H en K ( dus elk element van G is te schrijven onder de vorm $h_1k_1h_2k_2...h_rk_r$ , en als $H\capK=\{e\}$ dan is G het direct product van H met K. Dus $G\cong H \times K$ .
Abelse groepen zijn ofwel cyclisch ofwel het direct product van cyclische groepen.

Nootje 39

Geplaatst op 20 juni 2023 door admin

Antwoord

AH is de loodlijn uit A op BC. In een gelijkbenige driehoek verdeelt die de zijde BC in twee gelijke delen: dus elk van lengte $\frac{18+2}{2}=10$ .
We passen nu Pythagoras toe in driehoek ABH: $x^2=100+|AH|^2$ .
Hetzelfde in driehoek AHM: $100=64+|AH|^2$ . Hieruit volgt dat $|AH|=6$ .
Invullen in vorige formule geeft $x^2=136$ of $x=2\sqrt{34}$ .

De vruchtbare sikkel

Geplaatst op 18 juni 2023 door admin

Dit is waar het allemaal begon. De Vruchtbare Halve Maan of vruchtbare sikkel: de wieg van de beschaving.

Gedurende de eerste 190.000 jaar van het menselijk bestaan, zwierven we rond in kleine jager-verzamelaars groepjes, die van dag tot dag leefden, voortdurend in angst voor roofdieren en andere mensen. Maar ongeveer 10.000 jaar geleden, in het Mesopotamische gebied tussen de Tigris en de Eufraat in wat nu Irak is, besloten sommige mensen om te blijven waar ze zijn.

Het was in de Vruchtbare Halve Maan dat de landbouw begon. In plaats van rond te dwalen op zoek naar voedsel in een constante staat van oorlog, begonnen mensen zaden te planten en hun eigen gewassen te kweken. Om de overschotten goed te bewaren werden allerlei bouwwerken gemaakt. Om zich te beschermen, moest er worden samengewerkt. Terwijl vroeger menselijke samenlevingen normaal gesproken beperkt waren tot een paar dozijn mensen, ontstonden nu dorpen .

Hier, in deze vroege menselijke nederzettingen in de Vruchtbare Halve Maan , ontwikkelde de mens voor het eerst geschreven taal (waarschijnlijk om de boekhouding bij te houden). Ze hebben dieren gedomesticeerd. Ze hebben het wiel, de ploeg en architectuur uitgevonden. Monotheïstische religie ontstond. Tegen ongeveer 2500 voor Christus werden de eerste bibliotheken gecreëerd. De dingen die we zien als het karakteriseren van “beschaving” begonnen hier.

Een paar duizend jaar geleden trokken mensen uit de Vruchtbare Halve Maan, Europa en Azië binnen en namen de opgemaakte kennis en ervaring mee. En zaden en boerderijdieren. De rest is geschiedenis.

Nootje 38

Geplaatst op 13 juni 2023 door admin

Antwoord

Onderverdelen in driehoeken lijkt een goed idee:
De gelijkheid van oppervlaktes is evident: zelfde hoogte en even grote basis.
De vierhoek linksboven heeft oppervlakte 20 en is dus gelijk aan $16-x+32-y$ .
Hieruit volgt $x+y=28$ .
De oppervlakte van de vierhoek rechts onder, die gevraagd wordt, is gelijk aan $x+y$ , dus de gevraagde oppervlakte is gelijk aan 28 vierkante centimeter.