Nootje 45

Geplaatst op door

Zoek een getal van 4 cijfers, waarbij elk cijfer kleiner is dan 7. Het getal is een kwadraat en als je bij elk cijfer 3 optelt bekom je opnieuw  een getal dat een kwadraat is.

Antwoord

Valse munten

Geplaatst op door

Je hebt 10 stapels van 10 munten. Elke munt  van 9 van die stapels weegt 6 gram? Maar de munten van de 10de stapel wegen elk maar 5 gram. Hoe kan je met slechts 1 weging weten in welke stapel de munten van 5 gram zitten?

Antwoord

Les 5: Diophantische vergelijkingen en modulo rekenen

Geplaatst op door

Als twee gehele getallen gelijk zijn, dan zijn hun resten bij deling door een zelfde natuurlijk getal, verschillend van nul, ook gelijk. Of via contrapositie: als er tenminste 1 natuurlijk getal n bestaat waarvoor a \neq b \mod n, dan zal ook a verschillend zijn van b.

Proberen we eens met

    \[2x^2-3y^2-9463=0\]

  • Herschrijf tot 2x^2-3y^2=9463.
  • We bepalen de resten van beide leden bij deling door 3: 2x^2-3y^2\equiv 9463 \mod 3.
  • Of 2x^2\equiv 1 \mod 3.
  • Het inverse element, modulo 3, van 2 is 2 zelf, dus kunnen we vorige  vergelijking herschrijven als

        \[x^2\equiv 2 \mod 3\]

  • Nu is 2 geen kwadraatrest modulo 3, want 0^2=0,1^2=1 en 2^2=1.
  • Bijgevolg heeft de gegeven vergelijking geen oplossingen.

Les 4: ontbinding en exhaustie

Geplaatst op door

Bij Diophantische vergelijkingen van een hogere graad kan je via ontbinding in factoren dikwijls de oplossing vinden. Neem bijvoorbeeld:

    \[3x^2-4xy+5=0\]

  • We kunnen deze vergelijking herschrijven als

        \[x(3x-4y)=-5\]

  • Als x en y gehele getallen zijn, dan moeten x en 3x-4y delers zijn van -5.
  • We kunnen gemakkelijk alle mogelijkheden opschrijven: 

        \[\begin{array}{c|c|c} x&3x-4y&y \\ \hline \\1&-5&2\\-1&5&-2\\5&-1&4\\-5&1&-4\end{array}\]

  • We hebben dus als oplossingen (1,2),(-1,-2),(5,4),(-5,-4).

 

Les 3: Stelsels Diophantische vergelijkingen

Geplaatst op door

We lossen één van de vergelijkingen op en vullend die dan in de andere in, waardoor er een verband ontstaat tussen de parameters. Neem bijvoorbeeld:

    \[\left\{\begin{matrix} 3x-6y+16z=1\\2x+5y-6z=2\end{matrix}\right\]

  • Uit les 2 weten we dat de oplossing van de eerste vergelijking gegeven wordt door  x=5+16t+2v, y=5+16t+v, z=1+3t.
  • Invullen in de tweede vergelijking geeft: 2(5+16t+2v)+5(5+16t+v)-6(1+3t)=2. Na uitwerking vinden we 94t+9v=-27.
  • Dit is een Diophantische vergelijking met slechts twee onbekenden. De oplossingen hangen af van 1 parameter w: t=54-9w en v=-567+94w.
  • Brengen we deze waarden in bij de oplossingen van de eerste vergelijking van het stelsel, dan vinden we :

        \[\left\{\begin{matrix}x=-265+44w\\y=302-50w\\z=163-27w\end{matrix}\right\]