Schud een spel kaarten goed. Hoeveel kaarten van de top , gemiddeld genomen, kom je de eerste dame tegen?
We weten dat er 4 dames in het spel zijn.
Wat ook de volgorde van de kaarten mag zijn, de dames verdelen het pak kaarten in 5 groepen: de kaarten voor de eerste dame, de kaarten tussen de eerste en tweede dame, enzovoort.
Het aantal kaarten in elk van die groepen varieert van 0 tot en met 48.
Noteer met het aantal kaarten in de i-de groep. Dan geldt:
Elke is een kansvariabele en omdat het pak kaarten goed geschud is, zal de kansverdeling van elke dezelfde zijn.
Maar dan is .
Bijgevolg is
Het verwacht aantal kaarten voor de eerste dame is dus gelijk aan .
Bereken de kans dat de determinant van een 3×3 matrix, met natuurlijke getallen als elementen, oneven is.
Gegeven een matrix .
Zijn determinant is
Omdat het gaat over even/oneven kunnen we modulo 2 werken.
Determinant oneven betekent dan dat de determinant 1 is en dus dat de matrix inverteerbaar moet zijn.
Een matrix is inverteerbaar als de kolommen onafhankelijk zijn. Kies de eerste kolom willekeurig ( mag niet 000 zijn) . Dan heb je hiervoor 7 mogelijkheden.
De tweede kolom mag geen veelvoud zijn van de eerste, maw mag er niet aan gelijk zijn. Dus heb je hiervoor nog 6 mogelijkheden.
De derde kolom mag niet gelijk zijn aan de eerset of de tweede , maar ook niet gelijk aan de som van die twee ( en natuurlijk ook niet 000). Hiervoor heb je 4 mogelijkheden .
Er zijn 7x6x4=168 mogelijkheden om determinant 1 te vinden. Er zijn mogelijke matrices te vormen met nullen en enen.
De kans dat een 3×3 matrix met natuurlijke elementen oneven is , is dus
Zoek een getal van 4 cijfers, waarbij elk cijfer kleiner is dan 7. Het getal is een kwadraat en als je bij elk cijfer 3 optelt bekom je opnieuw een getal dat een kwadraat is.
Antwoord
Noteer met x het gezochte getal.
Dan kan je schrijven dat met p tussen 31 en 100.
Elk cijfer mer 3 vermeerderen betekent dat je 3333 optelt bij x.
Deze uitkomst is weer het kwadraat van een getal: Noteer dit als .
Dan is of .
Nu kan je 3333 schrijven als .
Zo bekom je bvb het stelsel en , waaruit volgt dat p=34
De andere mogelijkheden leveren geen oplossing op voor p tussen 32 en 100.