Nootje 43

Geplaatst op 24 december 2023 door admin

Zoek de oppervlakte van de getekende cirkel.

Antwoord

Noem de rechthoekzijden van de rechthoekige driehoeken a en b.
Dan is $a*b=2*24=48$ .
De totale oppervlakte van het grote vierkant is 100 plus vierkeer de rechthoekige driehoek met oppervlakte 24, dus 196. Bijgevolg is de zijde van het grote vierkant gelijk aan 16. Dus is $a+b=16$
Uit de twee betrekkingen met a en b vinden we dan dat $a=8$ en $b=6$ .
Nu weten we dat de oppervlakte van een rechthoekige driehoek gelijk is aan de straal van de ingeschreven cirkel vermenigvuldigd met de halve omtrek van de driehoek. Bijgevolg is de straal gelijk aan 2.
De oppervlakte van de getekende cirkel is $4\pi$ .

Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud

Geplaatst op 17 december 2023 door admin

Een programma in Python om de god en het ktv van twee getallen te berekenen. We maken gebruik van het algoritme van Euclides, dat zegt dat de grootste gemene deler van a en b ( met a>b) gelijk is aan de grootste gemene deler van b en de rest bij deling van a door b. Verder gebruiken we de formule dat het product van de ggd en het kgv gelijk is aan het product van de twee gegeven getallen.

een voorbeeld:

Verdubbelingsformule

Geplaatst op 11 december 2023 door admin

De lengte x van een koorde, die een boog onderspant, gelijk aan de helft van de boog, die bij een gegeven koorde a hoort, is

$x=\sqrt{2r^2-r\sqrt{4r^2-a^2}}$

Hierbij is r de straal van de cirkel.

Als a de zijden van een regelmatige n-hoek is, dan is x de zijden van een regelmatige 2n-hoek. Zo kunnen we bijvoorbeeld de zijde van een regelmatige twaalfhoek berekenen. De zijde van een regelmatige zeshoek is gelijk aan de straal r van de omgeschreven cirkel, en dus is

$z_{12}=\sqrt{2-\sqrt{3}}r$

We kunnen uit de formule ook a berekenen in functie van x en dan vinden we

$a=\frac{x\sqrt{4r^2-x^2}}{r}$

Uit de zijde van een regelmatige zeshoek kunnen we zo de zijden van een gelijkzijdige driehoek berekenen:

$z_6=\sqrt{3}r$

Haiku’s

Geplaatst op 9 december 2023 door admin

Tangenten kruisen

grafieken fluisteren zacht

wiskunde’s geheim

In de logica

redeneren als een kunst

wiskunde’s puzzel

Deze haiku’s zijn geschreven door Kato Appelen, leerling 6HUWE, de Prins Diest

Ook Chatgpt kan er iets van:

Rijen dansen strak

Fibonacci’s zachte cadans

Getal harmonie.

Formules in lucht

Grafieken als kunstwerken

Wiskunde’s poëzie.

Geometrie zingt

Driehoeken en cirkel

Ruimte in getal.

Algebra’s taal

Onbekenden ontvouwen

Wiskunde onthult.

Calculus stroomt voort

Limieten, derivaten

Wiskundig eb en vloed.

Het probleem van Bazel

Geplaatst op 3 december 2023 door admin

Het probleem van Bazel is een beroemd probleem uit de staltheorie. Het werd voor het eerst in 1644 aan de orde gesteld door Pietro Mengoli (1626-1686), en werd bijna 100 jaar later, in 1735, opgelost door Euler.

Het probleem vraagt:

Deze reeks is bij benadering gelijk aan 1,644934. Euler slaagde erin de exacte uitkomst te geven:

Het probleem heeft geleid tot nieuwe inzichten in de structuur van de reële getallen en de complexe getallen, en heeft bijgedragen tot de ontwikkeling van de analytische getaltheorie.

De Riemann-zeta functie $\zeta$ is een belangrijke functie in de wiskunde vanwege het verband met de verdeling van de priemgetallen. De bovenstaande reeks is niets minder dan $\zeta(2)$ . Het omgekeerde getal $\frac{6}{\pi^2}$ is de kans dat twee willekeurige gehele getallen onderling ondeelbaar zijn.