De ongelijkheid van Bernoulli

Geplaatst op door

Voor x\geq 0 en voor elk natuurlijk getal n geldt:

    \[(1+x)^n\geq 1+nx\]

We danken deze ongelijkheid aan Jacob Bernoulli (1654-1705) een Zwitserse wis- en natuurkundige.

Als oefening bewijzen we dat

    \[10^{36}>9^{37}\]

\Big(\frac{10}{9}\Big)^{36}=\Big(\Big(1+\frac{1}{9}\Big)^9\Big)^4

Gebruik nu de ongelijkheid van Bernoulli: 

\Big(\frac{10}{9}\Big)^{36} \geq \Big(1+\frac{9}{9}\Big)^4=16>9

Hieruit volgt dan inderdaad dat

    \[10^{36}>9^{37}\]